Енергетика, електричні системи - основні поняття. Електрична енергія Електрична енергія системи зарядів

· Потенціал електричного поля є величина, що дорівнює відношенню потенційної енергії точкового позитивного заряду, вміщену в дану точку поля, до цього заряду

або потенціал електричного поля є величина, що дорівнює відношенню роботи сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду з даної точки поля у нескінченність до цього заряду:

Потенціал електричного поля в нескінченності умовно прийнятий рівним нулю.

Відзначимо, що при переміщенні заряду в електричному полі робота A В.Сзовнішніх сил дорівнює по модулю роботі A с.псил поля і протилежна їй за знаком:

A В.С = - A з.п.

· Потенціал електричного поля, що створюється точковим зарядом Qна відстані rвід заряду,

· Потенціал електричного поля, створюваного металевої, несучої заряд Qсферою радіусом R, на відстані rвід центру сфери:

всередині сфери ( r<R) ;

на поверхні сфери ( r=R) ;

поза сферою (R> R) .

У всіх наведених для потенціалу зарядженої сфери формулах e є діелектрична проникність однорідного безмежного діелектрика, навколишнього сферу.

· Потенціал електричного поля, створеного системою пточкових зарядів, в даній точці відповідно до принципу суперпозиції електричних полів дорівнює алгебраіческойсуммепотенціалов j 1, j 2, ... , j n, Створюваних окремими точковими зарядами Q 1, Q 2, ..., Q n:

· енергія Wвзаємодії системи точкових зарядів Q 1, Q 2, ..., Q nвизначається роботою, яку ця система зарядів може зробити при удаленіііх відносно один одного в нескінченність, і виражається формулою

де - потенціал поля, створюваного всіма п- 1 зарядами (за винятком i-го) в точці, де розташований заряд Q i.

· Потенціал пов'язаний з напруженістю електричного поля співвідношенням

У разі електричного поля, що володіє сферичної симетрією, цей зв'язок виражається формулою

або в скалярною формі

а в разі однорідного поля, т. е. поля, напруженість якого в кожній точці його однакова як по модулю, так і по напрямку

де j 1і j 2- потенціали точок двох еквіпотенційних поверхонь; d -відстань між цими поверхнями вздовж електричної силової лінії.

· Робота, здійснюється електричним полем при переміщенні точкового заряду Qз однієї точки поля, що має потенціал j 1, В іншу, що має потенціал j 2

A=Q ∙(j 1 - j 2), Або

де E l -проекція вектора напруженості на напрям переміщення; dl -переміщення.

У разі однорідного поля остання формула набуває вигляду

A = Q ∙ E ∙ l ∙ cosa,

де l- переміщення; a- кут між напрямками вектора і переміщення.

Диполь є система двох точкових електричних зарядів рівних за розміром і протилежних за знаком, відстань lміж якими значно менше відстані rвід центру диполя до точок спостереження.

Вектор проведений від негативного заряду диполя до його позитивного заряду, називається плечем диполя.

Твір заряду | Q| диполя на його плече називається електричним моментом диполя:

· Напруженість поля диполя

де р- електричний момент диполя; r- модуль радіуса-вектора, проведеного від центру диполя до точки, напруженість поля в якій нас цікавить; α- кут між радіусом-вектором і плечем диполя.

· Потенціал поля диполя

· Механічний момент, який діє на диполь з електричним моментом, поміщений в однорідне електричне поле з напруженістю

або M = p ∙ E ∙ sin,

де α- кут між напрямками векторів і.

У неоднорідному електричному полі крім механічного моменту(Пари сил) на диполь діє ще деяка сила. У разі поля, що володіє симетрією щодо осі х, Сила виражається співвідношенням

де - похідна напруженості поля, що характеризує ступінь неоднорідності поля в напрямку осі х.

при сила Fх позитивна. Це означає, що під дією її диполь втягується в область сильного поля.

Потенційна енергія диполя в електричному полі

Енергетичний підхід до взаємодії. Енергетичний підхід до взаємодії електричних зарядів є, як ми побачимо, дуже плідним за своїми практичним застосуванням, а крім того, відкриває можливість по-іншому поглянути і на саме електричне поле як фізичну реальність.

Перш за все ми з'ясуємо, як можна прийти до поняття про енергії взаємодії системи зарядів.

1. Спочатку розглянемо систему з двох точкових зарядів 1 і 2. Знайдемо алгебраїчну суму елементарних робіт сил F, і F2, з якими ці заряди взаємодіють. Нехай в 1гекоторой К-системі відліку за час cU заряди зробили переміщення dl, і dl 2. Тоді відповідна робота цих сил

6Л, 2 = F, dl, + F2 dl2.

З огляду на, що F2 = - F, (за третім законом Ньютона), перепишемо попередній вираз: Mlj, = F, (dl1-dy.

Величина в дужках - це переміщення заряду 1 щодо заряду 2. Точніше, це є переміщення заряду / в / ( "- системі відліку, жорстко пов'язаної з зарядом 2 і переміщається разом з ним поступально по відношенню до вихідної / (- системі. Дійсно, переміщення dl, заряду 1 в / (- системі може бути представлено як переміщення dl2 / ( "- системи плюс переміщення dl, заряду / щодо цієї / (" - системи: dl, = dl2 + dl ,. звідси dl, - dl2 = dl " , і

Отже, виявляється, що сума елементарних робіт в довільній / (- системі відліку завжди дорівнює елементарної роботі, яку здійснює сила, що діє на один заряд, в системі відліку, де інший заряд спочиває. Інакше кажучи, робота 6Л12 не залежить від вибору вихідної / ( -системи відліку.

Сила F "діюча на заряд / з боку заряду 2, консервативна (як сила центральна). Тому робота цієї сили на переміщенні dl, може бути представлена як спад потенційної енергії заряду 1 в поле заряду 2 або як спад потенційної енергії взаємодії даної пари зарядів:

де 2 - величина, що залежить тільки від відстані між цими зарядами.

2. Тепер перейдемо до системи з т р е х точкових зарядів (отриманий для цього випадку результат легко буде узагальнити на систему з довільного числа зарядів). Робота, яку здійснюють всі сили взаємодії при елементарних переміщеннях всіх зарядів, може бути представлена як сума робіт всіх трьох пар взаємодій, т. Е. 6Л = 6Л (2 + 6Л, 3 + 6Л 2 3. Але для кожної пари взаємодій, як тільки що було показано, 6Л ik = - d Wik, тому

де W - енергія взаємодії даної системи зарядів,

W «= wa + Wtз + w23.

Кожне складова цієї суми залежить від відстані між відповідними зарядами, тому енергія W

даної системи зарядів є функція її конфігурації.

Подібні міркування, очевидно, справедливі і для системи з будь-якого числа зарядів. Значить, можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи зарядів притаманне своє значення енергії W і робота всіх сил взаємодії при зміні цієї конфігурації дорівнює спаду енергії W:

бл = -АГ. (4.1)

Енергія взаємодії. Знайдемо вираз для енергії W. Спочатку розглянемо знову систему з трьох точкових зарядів, для якої ми показали, що W = - W12 + ^ 13 + ^ 23- Перетворимо цю суму наступним чином. Уявімо кожне доданок Wik в симетричному вигляді: Wik =] / 2 (Wlk + Wk), оскільки Wik = Wk, Тоді

Згрупуємо члени з однаковими першими індексами:

Кожна сума в круглих дужках - це енергія Wt взаємодії г-го заряду з іншими зарядами. Тому останній вираз можна переписати так:

узагальнення довільного

отриманого виразу на систему з числа зарядів очевидно, бо ясно, що проведені міркування зовсім не залежать від числа зарядів, що складають систему. Отже, енергія взаємодії системи точкових зарядів

Маючи на увазі, що Wt =<7,9, где qt - i-й заряд системы; ф,- потенциал, создаваемый в месте нахождения г-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Приклад. Чотири однакових точкових заряди q знаходяться в вершинах тетраедра з ребром а (рис. 4.1). Знайти енергію взаємодії зарядів цієї системи.

Енергія взаємодії кожної пари зарядів тут однакова і дорівнює = q2 / Але0а. Всього таких взаємодіючих пар, як видно з малюнка, шість, тому енергія взаємодії всіх точкових зарядів даної системи

W = 6№, = 6<72/4яе0а.

Інший підхід до вирішення цього питання заснований на використанні формули (4.3). Потенціал ф в місці знаходження одного із зарядів, обумовлений полем всіх інших зарядів, дорівнює ф = 3<7/4яе0а. Поэтому

Повна енергія взаємодії. Якщо заряди розподілені безперервно, то, розкладаючи систему зарядів на сукупність елементарних зарядів dq = р dV і переходячи від підсумовування в (4.3) до інтегрування, отримуємо

де ф - потенціал, створюваний усіма зарядами системи в елементі об'ємом dV. Аналогічне вираз можна записати для розподілу зарядів, наприклад, по поверхні; для цього досить у формулі (4.4) замінити р на о і dV на dS.

Можна помилково подумати (і це часто призводить до непорозумінь), що вираз (4.4) -це тільки видозмінене вираз (4.3), відповідне заміні уявлення про точкові заряди поданням про безперервно розподіленому заряді. Насправді це не так - обидва вирази відрізняються за своїм змістом. Походження цього відмінності - в різному розумінні потенціалу ф, що входить в обидва вирази, що найкраще пояснити на наступному прикладі.

Нехай система складається з двох кульок, що мають заряди д, і q2 "Відстань між кульками значно більше їх розмірів, тому заряди ql і q2 можна вважати точковими. Знайдемо енергію W даної системи за допомогою обох формул.

Відповідно до формули (4.3)

W = "AUitPi +2> де, ф [- потенціал, створюваний зарядом q2 в місці

знаходження заряду аналогічний сенс має

і потенціал ф2.

Згідно ж формулою (4.4) ми повинні розбити заряд кожної кульки на нескінченно малі елементи р AV і кожен з них помножити на потенціал ф, створюваний не тільки зарядами іншого кульки, а й елементами заряду цієї кульки. Ясно, що результат буде зовсім іншим, а саме:

W = Wt + W2 + Wt2, (4.5)

де Wt - енергія взаємодії один з одним елементів заряду першого кульки; W2 - то ж, але для другого кульки; Wi2 - енергія взаємодії елементів заряду першого кульки з елементами заряду другого кульки. Енергії W, і W2 називають власними енергіями зарядів qx і q2, a W12-енергією взаємодії заряду із зарядом q2.

Таким чином, ми бачимо, що розрахунок енергії W за формулою (4.3) дає тільки Wl2, а розрахунок за формулою (4.4) -повну енергію взаємодії: крім W (2 ще і власні енергії IF, і W2. Ігнорування цієї обставини часто є джерелом грубих помилок.

До даного питання ми ще повернемося в § 4.4, а зараз отримаємо за допомогою формули (4.4) кілька важливих результатів.

Робота електричного поля по переміщенню заряду

поняття роботи Aелектричного поля Eпо переміщенню заряду Qвводиться в повній відповідності з визначенням механічної роботи:

де - різниця потенціалів (також вживається термін напруга)

У багатьох задачах розглядається безперервний перенесення заряду протягом деякого часу між точками із заданою різницею потенціалів U(t), В такому випадку формула для роботи слід переписати таким чином:

де - сила струму

Потужність електричного струму в ланцюзі

потужність Wелектричного струму для ділянки кола визначається звичайним чином, як похідна від роботи Aза часом, тобто виразом:

Це найбільш загальне вираження для потужності в електричному ланцюзі.

З урахуванням закону Ома:

Електричну потужність, що виділяється на опорі Rможна виразити як через струм: ,

Відповідно, робота (виділилася теплота) є інтегралом потужності за часом:

Енергія електричного і магнітного полів

Для електричного і магнітного полів їх енергія пропорційна квадрату напруженості поля. Слід зазначити, що, строго кажучи, термін енергія електромагнітного поляє не цілком коректним. Обчислення повної енергії електричного поля навіть одного електрона приводить до значення рівного нескінченності, оскільки відповідний інтеграл (див. Нижче) розходиться. Нескінченна енергія поля цілком кінцевого електрона складає одну з теоретичних проблем класичної електродинаміки. Замість нього у фізиці зазвичай використовують поняття щільності енергії електромагнітного поля(В певній точці простору). Загальна енергія поля дорівнює інтегралу густини енергії по всьому простору.

Щільність енергії електромагнітного поля є сумою густин енергій електричного і магнітного полів.

В системі СІ:

де E- напруженість електричного поля, H- напруженість магнітного поля, - електрична постійна, і - магнітна постійна. Іноді для констант і - використовують терміни діелектрична проникність і магнітна проникність вакууму, - які є вкрай невдалими, і зараз майже не вживаються.

Потоки енергії електромагнітного поля

Для електромагнітної хвилі щільність потоку енергії визначається вектором Пойнтінга S(В російській науковій традиції - вектор Умова-Пойнтінга).

В системі СІ вектор Пойнтінга дорівнює:,

Векторному добутку напруженостей електричного і магнітного полів, і направлений перпендикулярно векторах Eі H. Це природним чином узгоджується з властивістю поперечности електромагнітних хвиль.

Разом з тим, формула для густини потоку енергії може бути узагальнена для випадку стаціонарних електричних і магнітних полів, і має абсолютно той же вигляд:.

Сам факт існування потоків енергії в постійних електричних і магнтних полях, на перший погляд, виглядає дуже дивно, але це не призводить до будь-яких парадоксів; більш того, такі потоки виявляються в експерименті.

Розглянемо систему з двох точкових зарядів (див. Малюнок) згідно з принципом суперпозиції в будь-якій точці простору:

Щільність енергії електричного поля

Перше і третє складові пов'язані з електричними полями зарядів і відповідно, а другий доданок відображає електричну енергію, пов'язану із взаємодією зарядів:

Власна енергія зарядів величина позитивна
, А енергія взаємодії може бути як позитивною, так і негативною
.

На відміну від вектора енергія електричного поля - величина не аддитивная. Енергію взаємодії можна представити більш простим співвідношенням. Для двох точкових зарядів енергія взаємодії дорівнює:

яку можна уявити як суму:

де
- потенціал поля заряду в місці знаходження заряду , а
- потенціал поля заряду в місці знаходження заряду .

Узагальнюючи отриманий результат на систему з довільного числа зарядів, отримаємо:

де -
заряд системи, - потенціал, створюваний в місці знаходження
заряду, усіма іншимизарядами системи.

Якщо заряди розподілені безперервно з об'ємною щільністю , Суму слід замінити об'ємним інтегралом:

де - потенціал, створюваний усіма зарядами системи в елементі об'ємом
. Отриманий вираз відповідає повної електричної енергіїсистеми.

Приклади.

Заряджений металева куля в однорідному діелектрику.

На цьому прикладі ми з'ясуємо чому електричні сили в діелектрику менше ніж в вакуумі і розрахуємо електричну енергію такого кулі.

Н апряжённость поля в діелектрику менше напруженості в вакуумі в раз
.

Це пов'язано з поляризацією діелектрика і виникненням у поверхні провідника пов'язаного заряду протилежного знака заряду провідника (Див. Рисунок). пов'язані заряди екранують поле вільних зарядів , Зменшуючи його всюди. Напруженість електричного поля в діелектрику, дорівнює сумі
, де
- напруженість поля вільних зарядів,
- напруженість поля зв'язаних зарядів. Враховуючи що
, Знаходимо:

→
→

→
→
→

Поділивши на площу поверхні провідника, знаходимо зв'язок між поверхневою щільністю пов'язаних зарядів
і поверхневою щільністю вільних зарядів :

Отримане співвідношення придатне для провідника будь-якої конфігурації в однорідному діелектрику.

Знайдемо енергію електричного поля кулі в діелектрику:

Тут враховано, що
, А елементарний об'єм з урахуванням сферичної симетрії поля обраний в формі кульового шару. - ємність кулі.

Так як залежність напруженості електричного поля всередині і зовні кулі від відстані до центру кулі rопісивается різними функціями:

обчислення енергії зводиться до суми двох інтегралів:

Відзначимо, що на поверхні і в об'ємі діелектричного кулі виникають пов'язані заряди:

,
,

де
- об'ємна щільність вільних зарядів в кулі.

Доказ проведіть самостійно, використовуючи зв'язки
,
і теорему Гаусса
.

Власна енергія кожної оболонки рівні відповідно (див. Приклад 1.):

,
,

а енергія взаємодії оболонок:

Повна енергія системи дорівнює:

Якщо оболонки заряджені однаковими за величиною зарядами протилежного знака
(Сферичний конденсатор), повна енергія буде дорівнює:

де
- ємність сферичного конденсатора.

Напруга, прикладена до конденсатора одно:

де і - напруженість електричного поля в шарах.

Електрична індукція в шарах:

- поверхнева щільність вільних зарядів на пластинах конденсатора.

З огляду на зв'язок
з визначення ємності, отримуємо:

Отримана формула легко узагальнюється на випадок багатошарового діелектрика:

Електрична енергія системи зарядів.

Робота поля при поляризації діелектрика.

Енергія електричного поля.

Як і будь-яка матерія, електричне поле має енергію. Енергія є функцією стану, а стан поля задається напруженістю. Звідки випливає, що енергія електричного поля є однозначною функцією напруженості. Так як, то вкрай важливо ввести уявлення про концентрацію енергії в поле. Мірою концентрації енергії поля є її щільність:

Знайдемо вираз для. Розглянемо для цього поле плоского конденсатора, вважаючи його всюди однорідним. Електричне поле в будь-якому конденсаторі виникає в процесі його зарядки, який можна уявити як перенесення зарядів від однієї пластини до іншої (див. Малюнок). Елементарна работа͵ витрачена на перенос заряду дорівнює:

де, а повна робота:

яка йде на збільшення енергії поля:

З огляду на, що (електричного поля не було), для енергії електричного поля конденсатора отримуємо:

У разі плоского конденсатора:

так як, - обсяг конденсатора, дорівнює обсягу поля. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, щільність енергії електричного поля дорівнює:

Ця формула справедлива тільки в разі ізотропного діелектрика.

Щільність енергії електричного поля пропорційна квадрату напруженості. Ця формула, хоча і отримана для однорідного поля, вірна для будь-якого електричного поля. У загальному випадку енергію поля можна обчислити за формулою:

У вираженні входить діелектрична проникність. Це означає, що в діелектрику щільність енергії більше ніж у вакуумі. Це пов'язано з тим, що при створенні поля в діелектрику відбувається додаткова работа͵ пов'язана з поляризацією діелектрика. Підставами в вираз для щільності енергії значення вектора електричної індукції:

Перший доданок пов'язано з енергією поля в вакуумі, друге - з роботою, витрачений на поляризацію одиниці об'єму діелектрика.

Елементарна работа͵ витрачена полем на приріст вектора поляризації дорівнює.

Робота по поляризації одиниці об'єму діелектрика дорівнює:

так як, що і треба було довести.

Щільність енергії електричного поля

Власна енергія зарядів величина позитивна, а енергія взаємодії може бути як позитивною, так і негативною.

яку можна уявити як суму:

де - потенціал поля заряду в місці знаходження заряду, а - потенціал поля заряду в місці знаходження заряду.

Узагальнюючи отриманий результат на систему з довільного числа зарядів, отримаємо:

де - заряд системи, - потенціал, створюваний в місці знаходження заряду, нд ємі іншимизарядами системи.

У разі якщо заряди распредел єни безперервно з об'ємною щільністю, суму слід замінити об'ємним інтегралом:

де - потенціал, створюваний нд ємі зарядами системи в елементі об'ємом. Отриманий вираз відповідає повної електричної енергіїсистеми.