Дослідити функцію знайти найбільше і найменше. Як знайти найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкненій області? Найбільше і найменше значення функції - визначення, ілюстрації

§ Екстремуми, Найбільше і найменше значення функцій декількох змінних - сторінка №1 / 1

§ 8. Екстремуми, Найбільше і найменше значення функцій декількох змінних.

1. Екстремуми функцій декількох змінних.

площині
,
- точка цієї області.

Крапка
називається точкою максимуму функції
, Якщо для будь-якої точки

виконується нерівність

.

аналогічно точка
називається точкою мінімуму функції
, Якщо для будь-якої точки
з деякою околиці точки
виконується нерівність

.

зауваження. 1) За змістом визначень функція
повинна бути визначена в деякому околі точки
. Тобто точкою максимуму і точкою мінімуму функції
можуть бути тільки внутрішні точки області
.

2) Якщо існує околиця точки
, В якій для будь-якої точки
відмінною від
виконується нерівність

(

), То точку
називають точкою строгого максимуму (відповідно точкою строгого мінімуму ) функції
. У зв'язку з цим, певні вище точки максимуму і мінімуму називають іноді точками нестрого максимуму і мінімуму.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються її точками екстремуму . Значення функції в точках максимуму і мінімуму називаються відповідно максимумами і мінімумами , Або, коротше, екстремумами цієї функції.

Поняття екстремумів носять локальний характер: значення функції в точці
порівнюється зі значеннями функції в досить близьких точках. У даній області функція може зовсім не мати екстремумів, а може мати кілька мінімумів, кілька максимумів і навіть безліч і тих і інших. При цьому деякі мінімуми можуть виявитися більше деяких її максимумів. Не слід змішувати максимуми і мінімуми функції з її найбільшим і найменшим значеннями.

Знайдемо необхідна умова екстремуму. Нехай, наприклад,
- точка максимуму функції
. Тоді за визначенням існує gif "align = absmiddle width =" 17px "height =" 18px "> - околиця точки
така, що
для будь-якої точки
з цієї околиці. Зокрема,

(1)

де
,
, і

(2)

де
,
. Але (1) означає, що функція однієї змінної
має в точці максимум або є на інтервалі
постійною. отже,

або
- не існує,

⇒
або
- не існує.

Аналогічно з (2) отримуємо, що

або
- не існує.

Таким чином, справедлива наступна теорема.

ТЕОРЕМА 8.1. (Необхідні умови екстремуму). якщо функція
в точці
має екстремум, то в цій точці або обидві її приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, або хоча б одна з цих приватних похідних не існує.

Геометрично теорема 8.1 означає, що якщо
- точка екстремуму функції
, То дотична площину до графіка цієї функції в точці або паралельна площині
, Або взагалі не існує. Щоб переконатися в цьому, досить згадати, як знайти рівняння дотичної площини до поверхні (див. Формулу (4.6)).

Точки, що задовольняють умовам теореми 8.1, називаються критичними точками функції
. Також як і для функції однієї змінної, необхідні умови екстремуму не є достатнім. Тобто не всяка критична точка функції буде її точкою екстремуму.

ПРИКЛАД.Розглянемо функцію
. Крапка
є для цієї функції критичної, так як в цій точці обидві її приватні похідні першого порядку
і
дорівнюють нулю. Однак вона не буде точкою екстремуму. дійсно,
, Але в будь-який околиці точки
є точки, в яких функція набуває додатних значень і точки, в яких функція набуває від'ємних значень. У цьому легко переконатися, якщо побудувати графік функції - гіперболічний параболоїд.

Для функції двох змінних найбільш зручні достатні умови дає наступна теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (Достатні умови екстремуму функції двох змінних). нехай
- критична точка функції
і в деякій околиці точки
функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. позначимо

,
,
.

Тоді 1) якщо
, То точка
не є точкою екстремуму;


Якщо за допомогою теореми 8.2 досліджувати критичну точку
не вдалося (тобто якщо
або функція взагалі не має в околиці точки
безперервних приватних похідних потрібного порядку), відповідь на питання про наявність в точці
екстремуму дасть знак приросту функції в цій точці.

Дійсно, з визначення випливає, що якщо функція
має в точці
строгий максимум, то

для всіх точок
з деякою околиці точки
, Або, інакше

при всіх досить малих
і
. Аналогічно, якщо
- точка строгого мінімуму, то при всіх досить малих
і
буде виконуватися нерівність
.

Таким чином, щоб з'ясувати, чи є критична точка
точкою екстремуму, необхідно досліджувати приріст функції в цій точці. Якщо при всіх досить малих
і
воно буде зберігати знак, то в точці
функція має строгий екстремум (мінімум, якщо
, І максимум, якщо
).

зауваження. Правило залишається вірним і для нестрого екстремуму, але з поправкою, що при деяких значеннях
і
приріст функції буде нульовим
ПРИКЛАД. Знайти екстремуми функцій:

1)
; 2)
.

1) Функція

і
теж існують усюди. Вирішуючи систему рівнянь
,
знайдемо дві критичні точки
і
.

Для дослідження критичних точок застосуємо теорему 8.2. маємо:

,
,
.

досліджуємо точку
:

,
,
,

;
.

Отже, в точці
дана функція має мінімум, а саме
.

Досліджуємо критичну точку
:

,
,
,


.

Отже, друга критична точка не є точкою екстремуму функції.

2) Функція
визначена всюди. Її приватні похідні першого порядку
і теж існують усюди. Вирішуючи систему рівнянь
,
знайдемо єдину критичну точку
.

Для дослідження критичної точки застосуємо теорему 8.2. маємо:

,
,
,

,
,
,

.

Встановити наявність або відсутність екстремуму в точці
за допомогою теореми 8.2 не вдалося.

Досліджуємо знак приросту функції в точці
:

якщо
, то
;

якщо
, то
.

оскільки
Ніколи не зберігати знак в околиці точки
, То в цій точці функція не має екстремуму.

Визначення максимуму і мінімуму та необхідні умови екстремуму легко переносяться на функції трьох і більше числа змінних. Достатні умови екстремуму для функції (
) Змінних через їхню складність в даному курсі не розглядаються. Визначати характер критичних точок в цьому випадку ми будемо по знаку приросту функції.

2. Найбільше і найменше значення функції.

Нехай функція двох змінних
визначена в деякій області
площині
,
,
- точки цієї області. Значення функції в точці
називається найбільшим , Якщо для будь-якої точки
з області
виконується нерівність

.

Аналогічно значення функції в точці
називається найменшим , Якщо для будь-якої точки
з області
виконується нерівність

.

Раніше, ми вже говорили, що якщо функція неперервна, а область
- замкнута і обмежена, то функція приймає в цій області своє найбільше і найменше значення. При цьому точки
і
можуть лежати як всередині області
, Так і на її кордоні. якщо точка
(або
) Лежить всередині області
, То це буде точка максимуму (мінімуму) функції
, Тобто критична точка функції всередині області
. Тому для знаходження найбільшого і найменшого значень функції
в області
потрібно:
.

З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого і найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування ... Іншими словами, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X, який є або всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , Нескінченним проміжком.

У цій статті ми будемо говорити про знаходження найбільшого і найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y = f (x).

Навігація по сторінці.

Найбільше і найменше значення функції - визначення, ілюстрації.

Коротко зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , Що для будь-якого справедливо нерівність.

Найменшим значенням функції y = f (x) на проміжку X називають таке значення , Що для будь-якого справедливо нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) прийняте значення на розглянутому інтервалі при абсциссе.

стаціонарні точки- це значення аргументу, при яких похідна функції звертається в нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого і найменшого значень? Відповідь на це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо диференційована функція має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній із стаціонарних точок з цього проміжку.

Також часто найбільше і найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а сама функція визначена.

Відразу відповімо на один з найпоширеніших питань по цій темі: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді кордону проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності і на кордонах області визначення можуть приймати як нескінченно великі так і нескінченно малі значення. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільшому і найменшому значенні функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться на малюнки - і багато що проясниться.

на відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6; 6].

Розглянемо випадок, зображений на другому малюнку. Змінимо відрізок на. У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - в точці з абсцисою, відповідної правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3; 2] є абсциссами точок, відповідних найбільшому і найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі, про найбільшому значенні ніяких висновків зробити не можна.

на нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) в стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y = 3.

На інтервалі функція не досягає ні найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x = 2 праворуч значення функції прагнуть до мінус нескінченності (пряма x = 2 є вертикальною асимптотой), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y = 3. Графічна ілюстрація цього прикладу приведена на малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення неперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше і найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції і перевіряємо, чи міститься в ній весь відрізок.
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться в відрізку (зазвичай такі точки встечаются у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функцій з дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, то переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідні коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє в відрізок, то переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції в відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), в точках, в яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x = a і x = b.
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше і найменше - вони і будуть шуканими найбільшим і найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

Приклад.

Знайти найбільше і найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4; -1].

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, за винятком нуля, тобто. Обидва відрізка потрапляють в область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує в усіх точках відрізків і [-4; -1].

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x = 2. Ця стаціонарна точка потрапляє в перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1, x = 2 і x = 4:

Отже, найбільше значення функції досягається при x = 1, а найменше значення - при x = 2.

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4; -1] (так як він не містить жодної стаціонарної точки):

Рішення.

Почнемо з області визначення функції. Квадратний тричлен в знаменнику дробу не повинен звертатися в нуль:

Легко перевірити, що все інтервали з умови задачі належать області визначення функції.

Продифференцируем функцію:

Очевидно, похідна існує на всій області визначення функції.

Знайдемо стаціонарні точки. Похідна звертається в нуль при. Ця стаціонарна точка потрапляє в інтервали (-3; 1] і (-3; 2).

А тепер можна зіставити отримані в кожному пункті результати з графіком функції. Синіми пунктирними лініями позначені асимптоти.

На цьому можна закінчити з перебуванням найбільшого і найменшого значення функції. Алгоритми, розібрані в цій статті, дозволяють отримати результати при мінімумі дій. Однак буває корисно спочатку визначити проміжки зростання і спадання функції і тільки після цього робити висновки про найбільшому і найменшому значенні функції на будь-якому інтервалі. Це дає більш ясну картину і суворе обгрунтування результатів.

Екстремум функції - це властивість місцевого, локального характеру (див. Визначення). Не слід змішувати максимум (мінімум) з найбільшим (найменшим) значенням функції в замкненій області D.

Визначення.Припустимо, функція z = f(x, y) Визначена і неперервна в деякій області D, Має в цій області кінцеві приватні похідні. Тоді в цій області знайдуться точки, в яких функція досягає найбільшого і найменшогозначення інших значень. Ці точки можуть лежати всередині області або на її кордоні.

Для того щоб знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області, потрібно:

1) Знайти стаціонарні точки, розташовані всередині області, і обчислити значення функції в цих точках.

Зауваження. Приєднати до стаціонарних точок точки, в яких похідні нескінченні або не існує (якщо такі є).

2) Знайти стаціонарні точки на кордоні області і обчислити значення функції в цих точках.

3) Знайти значення функції в кутових точках - точках перетину граничних ліній.

4) З усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 1.22.Знайти найбільше і найменше значення функції

z = 2x 2 - xy ++ y 2 + 7xв замкнутій області D: –3 x 3, –3 y 3 (рис. 1.3).

Мал. 1.3. область дослідження D

Рішення. 1) Знаходимо стаціонарні точки

Звідси у = –1, х= -2, стаціонарна точка М 0 (–2, –1) D, z(М 0) = –7.

2) Досліджуємо функцію на кордоні області, яка складається з відрізків AB, DC, CB, AD.

а) На прямій AB: у= 3, а функція має вигляд

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ця функція однієї незалежної змінної.

Визначимо стаціонарні точки даної функції:

отже, х = –2,5.

визначаємо zпри х = -2,5, а також на кінцях відрізка [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

значить = 3,5, а = 57.

б) Розглянемо відрізок ВС:х = 3.

z = у 2 – 3у + 39; у [–3, 3],

= 2у - 3; 2у - 3 = 0 у = 3/2.

знаходимо z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

в) На відрізку CD: у = 3, z = 2x 2 + 4x + 9; у [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Лекція 28. Дослідження на екстремум функцій декількох змінних. Умовний екстремум функцій декількох змінних.

Дослідження функцій багатьох змінних на екстремум - процедура набагато складніша, ніж аналогічна процедура для функцій однієї змінної. Тому обмежимося розглядом цього питання на найбільш простому і наочному прикладі функції двох змінних (див рис.1). тут M 1(x 1; y 1), M 2(x 2; y 2), M 3(x 3; y 3) - точки екстремуму цієї функції. А саме, точки М 1і М 3 -точки мінімуму функції, а точка М 2- точка її максимуму. На рис.1 представлена ​​функція з трьома крапками екстремуму, але цих точок, природно, може бути і більше, і менше.

Визначимо більш точно, що таке точки екстремуму для функції двох змінних.

визначення. функція має максимум(мінімум) В точці, якщо для будь-якої точки, що знаходиться в деякій околиці - околиці точки, виконується (). - околиця можна уявити безліччю точок, координати яких задовольняють умові , Де - позитивне досить мале число.

Максимуми і мінімуми функції називаються екстремумами, А - екстремальної точкою.

нехай M 0(x 0; y 0) - точка будь-якого екстремуму (точка максимуму або точка мінімуму) функції. тоді справедлива

Теорема 1.

Якщо в точці екстремуму M 0(x 0; y 0) Існують приватні похідні і , То обидві вони дорівнюють нулю:

2) Розглянемо тепер функцію . Так як - екстремальне значення цієї функції, то похідна цієї функції при y = y 0, Якщо вона існує, дорівнює нулю:

(3)

Теорема доведена.

Зауважимо, що умови (1) є лише необхіднимиумовами екстремуму в точці M 0(x 0; y 0) Диференціюється в цій точці функції. Тобто, ці умови не є достатніми умовами того, що в точці M 0(x 0; y 0) Функція буде мати екстремум (максимум чи мінімум). Інакше кажучи, точка M 0(x 0; y 0), В якій виконуються обидва рівності (1), є лише підозрілоїна екстремум точкою для функції. Остаточний висновок про характер такої підозрілої на екстремум точки можна зробити за допомогою наступної теореми (наведемо її без виведення):

Теорема 2.(Достатні умови екстремуму)

нехай M 0(x 0; y 0) - така точка з області Dвизначення функції, що для неї виконуються необхідні умови (1) екстремуму цієї функції. Тобто M 0(x 0; y 0) - підозріла на екстремум точка. Знайдемо в цій точці числа

(4)

1) Якщо > 0 і > 0 (або З> 0при А = 0), То M 0(x 0; y 0) – точка мінімуму функції .

2) Якщо > 0 і < 0 (або З<0 при А = 0), То M 0(x 0; y 0) – точка максимуму функції .

3) Якщо < 0, то точка M 0(x 0; y 0) – не крапка екстремуму функції .

4) Якщо = 0, то питання залишається відкритим - потрібно додаткове дослідження.

Приклад 1.нехай хі у- кількості двох вироблених товарів; p 1 = 8 руб. і p 2 = 10 руб. - ціна одиниці кожного з цих товарів відповідно; C = 0,01(x 2 + xy + y 2) - функція витрат (в рублях) на виробництво цих товарів. тоді дохід Rвід продажу товарів складе R = 8x + 10y(Руб.), А прибуток Пскладе (в рублях)

П = R - C = 8x + 10y - 0,01(x 2 + xy + y 2).

знайдемо обсяги хі утоварів, при яких прибуток Пбуде максимальною.

1) Спочатку знайдемо значення ( х; у), Підозрілі на екстремум для функції П:

2) Тепер досліджуємо знайдену підозрілу на екстремум для функції Пточку М 0(200; 400). Для цього знайдемо в цій точці значення, які визначаються виразами (4). Так як

і це вірно для будь-яких ( х; у), А значить, і в точці М 0(200; 400), то

Так як а то точка М 0(200; 400) - точка максимуму функції П. Тобто прибуток Пвід продажів буде максимальною при х = 200(Од)і у = 400(Од)і дорівнює 2800 руб.

Приклад 2.Знайти точки екстремуму і екстремальні значення функції

Рішення.Ця функція - функція двох змінних, визначена для будь-яких хі у, Тобто на всій площині хоу, І має в кожній її точці приватні похідні першого порядку:

Спочатку знайдемо точки площині хоу, Підозрілі на екстремум для даної функції:

Потім, знайшовши приватні похідні другого порядку від функції, запишемо вираження для:

Обчислюючи тепер числові значення цих величин для кожної з чотирьох підозрілих на екстремум точок, отримаємо наступні висновки про ці точках:

Крапка min.

Крапка max.

Чи не точка екстремуму.

Чи не точка екстремуму.

Тепер знайдемо два екстремальних (максимальних) значення функції, що визначають висоту двох вершин графіка цієї функції:

Визначення найбільшого і найменшого значень функції двох змінних у замкненій області.

Розглянемо наступну задачу. Нехай - деяка безперервна функція двох змінних, що розглядається в замкнутій області, де - внутрішня частина області, а Г- її межа (рис. 8.6).

Те, що функція неперервна в області, означає, що графік цієї функції (поверхню в просторі) є суцільний (без розривів) поверхнею для всіх. Тобто поняття безперервності функції двох змінних аналогічно поняттю безперервності функції однієї змінної. Як і функції однієї змінної, функції двох змінних, утворені з елементарних функцій, безперервні для всіх значень своїх аргументів, для яких вони визначені. Це стосується і функцій трьох, чотирьох і більше змінних.

Повернемося до рис. 2. Поставимо наступне питання: в яких точках області функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень z наибі z наим? І які ці значення? Зауважимо, що ця задача аналогічна тій, що була розглянута для функції однієї змінної, що розглядається на замкнутому відрізку [ a; b] осі ох.

Очевидно, що шукані точки області, в яких функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень, містяться або серед точок екстремуму цієї функції, що знаходяться всередині області (в області), або знаходяться десь на кордоні Гцій галузі. У замкнутої області такі точки свідомо знайдуться (теорема Вейєрштрасса). А у відкритій області (без кордону Г) Таких точок може і не бути.

Зі сказаного вище випливає наступна схема знаходження цих точок, Аналогічна тій, що була викладена для функцій однієї змінної.

1. Знаходимо всі підозрілі на екстремум точки функції, що знаходяться в області D. Це - ті точки, в яких обидві приватні похідні і дорівнюють нулю (або одна дорівнює нулю, а інша не існує, або обидві не існують).

2. Знаходимо всі підозрілі на екстремум точки функції, що знаходяться на кордоні Гобласті. При цьому використовуємо рівняння кордону Г.

3. Не досліджуючи знайдені в пунктах 1 і 2 підозрілі точки (це зайве), знаходимо значення функції у всіх знайдених підозрілих точках і вибираємо ті з них, де zбуде найбільшим і найменшим.

Приклад 3.знайти z наибі z наимфункції, що розглядається в замкнутій області, що представляє собою трикутну пластинку з вершинами O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (рис. 3).

Рішення.Виконаємо викладену вище схему.

1. Знайдемо всередині трикутника (в області D) Точки, підозрілі на екстремум для нашої функції z. Для цього спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку і:

Ці похідні існують (їх можна обчислити) для будь-яких (Х; у). Отже, точками, підозрілими на екстремум, будуть лише ті, для яких обидві ці приватні похідні дорівнюють нулю:

Точка, очевидно, належить області D(Оскільки він розглядався трикутнику). Тобто вона - підозріла на екстремум точка для заданої функції zвсередині трикутника, причому вона там єдина.

2. Знайдемо тепер точки, підозрілі на екстремум, на кордоні трикутника.

а) Досліджуємо спочатку ділянку ОАМежі ( у= 0; 0 £ х£ 1). На цій ділянці - функція однієї змінної х. Її похідна існує для всіх xÎ. Тому свої екстремальні значення функція zможе мати або в точці, де, тобто в точці, або на кінцях відрізка ОА, Тобто в точках Про(0; 0) і А(1; 0).

б) Досліджуємо тепер ділянку ОВмежі трикутника (там х= 0; 0 £ у£ 1). На цій ділянці функція (0 £ у£ 1) - функція однієї змінної у. Повторюючи міркування пункту (а), приходимо до висновку, що свої екстремальні значення функція zможе мати або в точці, або на кінцях відрізка ОВ, Тобто в точках Про(0; 0) і B(0; 1).

в) Нарешті, досліджуємо ділянку АВМежі. Так як на AB(Переконайтеся в цьому) у = - х + 1 (0 £ х£ 1), то там функція zнабуває вигляду: (0 £ х£ 1). Її похідна, тому своїх екстремальних значень функція zможе досягати лише в точці, де, тобто в точці, або на кінцях відрізка АВ, Тобто в точках Аі В.

Отже, повний набір підозрілих на екстремум точок функції
в трикутнику ОАВтакий:

; ; ; ; ; ; .

3. А тепер знайдемо значення функції zу всіх знайдених підозрілих точках і виберемо з цих значень найбільше значення z наибі найменше значення z наим:

Таким чином, z наиб = 3 і досягається функцією zв трикутнику ОАВвідразу в двох точках - в його вершинах Аі В. А та досягається функцією zв трикутнику ОАВв його внутрішньої точці.

Приклад 4.Міський бюджет має можливість витратити на соціальне житло не більше 600 млн. Рублів, маючи при цьому проектами і ділянками землі під 10 п'ятиповерхових будинків на 90 квартир кожен і під 8 дев'ятиповерхових будинків на 120 квартир кожен. Середня кошторисна вартість однієї квартири в п'ятиповерховому будинку становить 400 тисяч рублів, а в дев'ятиповерховому 500 тисяч рублів. Скільки п'ятиповерхових і скільки дев'ятиповерхових будинків повинен побудувати місто, щоб отримати максимальне число квартир?

Рішення.нехай х- шукана кількість п'ятиповерхових будинків, у -дев'ятиповерхових, а z -загальна кількість квартир в цих будинках:

z = 90x + 120y

Вартість всіх квартир в п'ятиповерхових будинках складе 90 × 0,4 · х = 36хмлн. рублів, а в дев'ятиповерхових 120 × 0,5 · у = 60умлн. рублів. Згідно з умовами завдання маємо:

0 £ х£ 10; 0 £ у£ 8; 36 х + 60у£ 600

Дані обмежувальні нерівності виконуються, очевидно, в п'ятикутнику (Рис.4). У цієї замкнутої області потрібно знайти точку М (х; у), Для якої функція z = 90x + 120yприйме найбільше значення z наиб.

Реалізуємо викладену вище схему вирішення такого роду завдань.

1. Знайдемо всередині п'ятикутника точки, підозрілі на екстремум для функції z. Так як , І ці приватні похідні свідомо не дорівнюють нулю, то підозрілих на екстремум точок всередині п'ятикутника немає.

2. Знайдемо точки, підозрілі на екстремум, на кордонах п'ятикутника. На кожному з п'яти відрізків, що становлять кордон п'ятикутника, функція z- лінійна функція виду z = ax + by, А отже, своїх найбільшого і найменшого значень вона досягає на кордонах відрізків. Тобто шукане найбільше значення z наибфункція zдосягає в одній з кутових точок (О; А; М 1; М 2; В). обчислюючи значення zв цих точках, отримаємо:

z(Про) = 0; z ( A) = 960; z ( M 1) = 1260; z ( M 2) = 1380; z ( B) = 900.

Таким чином z наімб= 1380 і досягається воно в точці M 2(10, 4). Тобто найбільше число квартир (1380) вийде, якщо будуть побудовані 10 п'ятиповерхових будинків і 4 дев'ятиповерхових.

приклад 5. Довести, що з усіх трикутників, що мають даний периметр 2р, найбільшу площу має рівносторонній треугольнік.М (2p / 3, 2p / 3), тому що інші точки не задовольняють змістом задачі: не може бути трикутника, у якого сторона дорівнює половині периметра.

Досліджуємо на екстремум точку М (2p / 3, 2p / 3):

∂ 2 f / ∂x 2 = -2p (p-y); ∂ 2 f / ∂x∂y = p (2x + 2y-3p); ∂ 2 f / ∂y 2 = -2p (p-x);

D = AC-B 2 =;

D> 0, А тому А<0 , То в досліджуваній точці функція досягає максимуму. Отже, в єдиній стаціонарної точці функція досягає максимуму, а тому і найбільшого значення; таким чином, при х = 2p / 3, y = 2p / 3функція досягає і найбільшого значення. Але тоді z = 2p-x-y = 2p / 3. А тому х = у = z, То трикутник - рівносторонній.

Функції декількох змінних

1. Основні визначення

Визначення 1.Відповідність, яке кожній парі (x; y) значень змінних x і y, що належить деякому безлічі пар D, зіставляє одне і тільки одне число zÎR, називається функцією двох змінних, визначеної на множині D зі значеннями в R. При цьому пишуть z = f (x; y). D = D (f) - область визначення функції f.

2. Приватні і повне приросту функції двох змінних

Якщо в функції z = f (x; y) двох змінних x і y зафіксувати значення однієї з них, наприклад y = y 0, то отримаємо функцію z = f (x; y 0), що залежить від однієї змінної х.

Аналогічно, якщо зафіксувати зміну x = x 0, отримаємо функцію z = f (x 0; y) однієї змінної у.

Визначення 2.Величина D x z = f (x 0 + Dx; y 0) - f (x 0; y 0) називається приватним збільшеннямфункції z = f (x; y) в точці (x 0; y 0) по аргументу х.

Визначення 3.Величина D y z = f (x 0; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) називається приватним збільшеннямфункції z = f (x; y) в точці (x 0; y 0) по аргументу y.

Визначення 4.Величина Dz = f (x 0 + Dx; y 0 + Dy) - f (x 0; y 0) називається повним приростомфункції z = f (x; y) в точці (x 0; y 0).

3. Приватні похідні функції двох змінних

Нехай дана функція z = f (x; y) двох незалежних змінних x і y. Фіксуючи одну з них, наприклад, вважаючи у = const, приходимо до функції однієї змінної x. Тоді можна ввести поняття похідної отриманої функції по x, яку позначимо. Згідно з визначенням похідної функції однієї змінної маємо:

Визначення 5.Границя відношення приватного збільшення D x z функції z = f (x; y) по змінній x до приросту Dx змінної x при Dx, які прагнуть до нуля, називається приватної похідноюфункції по x і позначається; ;

Аналогічно визначається і позначається приватна похіднафункції z = f (x; y) по змінній y.

Приклад 1.Знайти приватні похідні функцій:

1. f (x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x.

Рішення

1. Вважаючи y = const, і вважаючи при цьому x незалежної змінної, знайдемо

Аналогічно при x = const, одержимо .

2. При y = const

;

при x = const

Все сказане можна поширити на функції будь-якого числа змінних.

Приклад 2.Знайти приватні похідні функції

u = f (x; y; z) = cos (x 2 + y 2 + z 2).

Рішення

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin (x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Оскільки приватні похідні від функції декількох змінних також є, взагалі кажучи, функціями декількох змінних, то для них можна також обчислювати приватні похідні. Ці похідні називають приватними похідними вищих порядків.

Наприклад, для функції f (x; y) двох змінних є такі типи похідних другого порядку:

- друга похідна по x;

і = - змішані частинні похідні

- друга похідна по у.

4. Повний диференціал функції двох змінних

Визначення 6.Повним диференціалом функції z = f (x; y) двох змінних x і y називається головна частина повного приросту Dz, лінійна відносно приросту аргументів Dx і Dy.

C урахуванням того, що Dx = dx і Dy = dy повний диференціал функції z = f (x; y) обчислюється за формулою

Приклад 3.Обчислити повний диференціал функції

z = ln (x 2 + y 2).

Рішення. Знайдемо приватні похідні і даної функції

Після їх підстановки в формулу (3.5) отримаємо

dz =

Знайти приватні похідні функцій

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln (x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x · y 293. z =

294. z = e y / x - e x / y 295. z = x y + sin

296. z = sin (x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctg

Знайти приватні похідні другого порядку

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 301. z = xy + sin (x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln (x + e xy)

Перевірити, що

308. z = 309. z = ln (x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctg

Знайти повний диференціал функцій

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin (x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Екстремуми функції двох змінних

Основні визначення

Визначення 1.Точка М (x 0; у 0) називається точкою максимуму (мінімуму) функції z = f (x; y), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (x; y) з цієї околиці виконується нерівність:

f (x 0; y 0) ³ f (x; y), .

теорема 1 (Необхідна умова існування екстремуму) . Якщо диференційована функція z = f (x; y) досягає екстремуму в точці М (x 0; y 0), то її приватні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто ;

Точки, в яких приватні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарнимиабо критичними точками.

теорема 2 (Достатня умова існування екстремуму)

Нехай функція z = f (x; y):

а) визначена в деякому околі точки (x 0; y 0), в якій і;

б) має в цій точці безперервні приватні похідні другого порядку

;

Тоді, якщо D = АС - B 2> 0, то в точці (x 0; y 0) функція z = f (x; y) має екстремум, причому, якщо А< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (або С> 0) - мінімум. У разі D = АС - В 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Приклад 1.Знайти екстремум функції z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Рішення. Знайдемо приватні похідні першого порядку:

Скористаємося необхідною умовою існування екстремуму:

Вирішуючи систему рівнянь, знаходимо координати x і y стаціонарних точок: x = 0; y = 3, т. е. М (0; 3).

Обчислимо приватні похідні другого порядку і знайдемо їх значення в точці М.

А = = 2; С = = 2;

Складемо дискриминант D = АС - В 2 = 2 × 2 - 1> 0, A = 2> 0. Отже, в точці М (0; 3) задана функціямає мінімум. Значення функції в цій точці z min = -9.

Знайти екстремуми функцій

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x / 2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Найбільше і найменше значення функції двох змінних

У замкнутої області

Для того, щоб знайти найбільшеі найменшезначення функції в замкненій області, треба:

1) знайти критичні точки, розташовані в даній області, і обчислити значення функції в цих точках;

2) знайти критичні точки на кордоні області і обчислити найбільше та найменше значення функцій в них;

3) з усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 2.Знайти найбільше і найменше значення функції z = в колі x 2 + y 2 £ 1.

Рішення. Знайдемо координати критичних точок, розташованих усередині даної області, для чого обчислимо приватні похідні першого порядку функції z і прирівняємо їх до нуля.

звідки x = 0, y = 0 і, отже, М (0; 0) - критична точка.

Обчислимо значення функції z в точці М (0; 0): z (0; 0) = 2.

Знайдемо критичні точки на кордоні області - окружності, заданої рівнянням x 2 + y 2 = 1. Підставляючи у 2 = 1 - x 2 в функцію z = z (x; y), отримаємо функцію однієї змінної

z = ;

причому xÎ [-1; 1].

обчисливши похідну і прирівнявши її нулю, отримаємо критичні точки на кордоні області x 1 = 0, x 2 =, x 3 =

Знайдемо значення функції z (x) = в критичних точках і на кінцях відрізка [-1; 1]: z (0) =; =; ; z (-1) =; z (1) =

Виберемо найбільше та найменше серед значень функції z в критичних точках, розташованих усередині і на кордоні кола.

Отже, z наиб. = Z (0; 0) = 2

z найменувань. = z

умовний екстремум

Визначення 2.Умовним екстремумів функції z = f (x; y) називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням j (x; y) = 0 (рівняння зв'язку). , Y =.

Таким чином, гіпотенуза має найменше значення, якщо катети трикутника рівні між собою.

Знайти найбільше і найменше значення функцій:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x в замкнутій області, обмеженою прямими x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y в квадраті, обмеженому прямими x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y в трикутнику, обмеженому прямими x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) в області 0 £ x £, 0 £ y £.

336. z = xy в колі x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 в колі (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 в колі (x -) 2 + (y -) 2 £ 9.

339. Знайти екстремум функції z = x 2 + y 2, якщо x і y пов'язані рівнянням = 1.

340. З усіх трикутників, що мають периметр Р, знайти найбільший за площею.

341. З усіх прямокутників із заданою площею S знайти такий, периметр якого має найменше значення.

342. Визначити розміри відкритого басейну об'ємом V, що має найменшу поверхню.

343. Знайти розміри прямокутного паралелепіпеда, що має при даній повної поверхні S максимальний обсяг.

344. Визначити розміри циліндра найбільшого обсягу за умови, що його повна поверхня S = 6p.

* Під поняттями опуклістьі увігнутістьграфіка функції слід розуміти опуклість вгоруі внизвідповідно.