Пара паралельних прямих другого порядку. Що таке канонічний вид рівняння? Еліпс і його канонічне рівняння

Лінії другого порядку

плоскі лінії, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню алгебри 2-го ступеня

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричного образу, але для збереження спільності в таких випадках кажуть, що воно визначає уявну Л. в. п. Залежно від значень коефіцієнтів загального рівняння (*) воно може бути перетворено за допомогою паралельного перенесення початку і повороту системи координат на деякий кут до одного з 9 наведених нижче канонічних видів, кожному з яких відповідає певний клас ліній. Саме,

нераспадающіеся лінії:

y 2 = 2px - параболи,

розпадаються лінії:

x 2 - а 2 = 0 - пари паралельних прямих,

x 2 + а 2 = 0 - пари уявних паралельних прямих,

x 2 = 0 - пари однакових паралельних прямих.

Дослідження виду Л. в. п. може бути проведено без приведення загального рівняння до канонічного виду. Це досягається спільним розглядом значень т. Н. основних інваріантів Л. в. п. - виразів, складених з коефіцієнтів рівняння (*), значення яких не змінюються при паралельному перенесенні і повороті системи координат:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Так, наприклад, еліпси, як нераспадающіеся лінії, характеризуються тим, що для них Δ ≠ 0; позитивне значення інваріанта δ виділяє еліпси серед інших типів нераспадающіхся ліній (для гіпербол δ

Три основні інваріанта Δ, δ і S визначають Л. в. п. (крім випадку паралельних прямих) з точністю до руху (Див. Рух) евклідової площині: якщо відповідні інваріанти Δ, δ і S двох ліній рівні, то такі лінії можуть бути суміщені рухом. Іншими словами, ці лінії еквівалентні по відношенню до групи рухів площини (метрично еквівалентні).

Існують класифікації Л. в. п. з точки зору ін. груп перетворень. Так, відносно більш загальної, ніж група рухів, - групи афінних перетворень (Див. Афінний перетворення) - еквівалентними є будь-які дві лінії, які визначаються рівняннями одного канонічного виду. Наприклад, дві подібні Л. в. п. (див. Подоба) вважаються еквівалентними. Зв'язки між різними аффіннимі класами Л. в. п. дозволяє встановити класифікація з точки зору проективної геометрії (Див. Проектна геометрія), в якій нескінченно видалені елементи не відіграють особливої ​​ролі. Дійсні нераспадающіеся Л. в. п .: еліпси, гіперболи і параболи утворюють один проективний клас - клас дійсних овальних ліній (овалів). Дійсна овальна лінія є еліпсом, гіперболою або параболою в залежності від того, як вона розташована відносно нескінченно віддаленої прямий: еліпс перетинає невласну пряму в двох уявних точках, гіпербола - в двох різних дійсних точках, парабола стосується невласною прямий; існують проектні перетворення, що переводять ці лінії одна в іншу. Є всього 5 проектних класів еквівалентності Л. в. п. Саме,

невирождающіеся лінії

(x 1, x 2, x 3- однорідні координати):

x 1 2 + x 2 + 2 - x 3 2= 0 - дійсний овал,

x 1 2 + x 2 + 2 + x 3 2= 0 - уявний овал,

вироджуються лінії:

x 1 2 - x 2 + 2= 0 - пара дійсних прямих,

x 1 2 + x 2 + 2= 0 - пара уявних прямих,

x 1 2= 0 - пара співпадаючих дійсних прямих.

А. Б. Іванов.

Велика Радянська Енциклопедія. - М .: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Лінії другого порядку" в інших словниках:

Плоскі лінії, прямокутні координати точок яких задовольняють рівнянню алгебри 2 го ступеня. Серед ліній другого порядку еліпси (зокрема, окружності), гіперболи, параболи ... Великий Енциклопедичний словник

Плоскі лінії, прямокутні координати точок яких задовольняють рівнянню алгебри 2 го ступеня. Серед ліній другого порядку еліпси (зокрема, окружності), гіперболи, параболи. * * * ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ, ... ... енциклопедичний словник

Плоскі лінії, прямокут. координати точок до яких задовольняють алгебр. ур-нію 2 го ступеня. Серед Л. в. п. еліпси (зокрема, окружності), гіперболи, параболи ... Природознавство. енциклопедичний словник

Плоска лінія, декартові прямокутні координати до рій задовольняють алгебраїч. рівняння 2 го ступеня Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричний. образу, але для збереження спільності в таких випадках кажуть, що воно визначає ... ... математична енциклопедія

Безліч точок 3 мірного дійсного (або комплексноро) простору, координати до яких в декартовій системі задовольняють алгебраїч. рівняння 2 го ступеня (*) Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричний. образу, в таких ... ... математична енциклопедія

Слово це, вельми часто вживане в геометрії кривих ліній, має не цілком певне значення. Коли це слово застосовується до незамкнутим і неразветвляющімся кривих лініях, то під галуззю кривий мається на увазі кожна безперервна окрема ... ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза і І.А. Ефрона

Лінії другого порядку, два діаметра, кожен з яких ділить навпіл хорди цієї кривої, паралельні іншому. С. д. Грають важливу роль в загальній теорії ліній другого порядку. При паралельному проектуванні еліпса в коло його С. д. ... ...

Лінії, які виходять перетином прямого кругового Конуса площинами, не проходить через його вершину. К. с. можуть бути трьох типів: 1) січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини; лінія ... ... Велика Радянська Енциклопедія

Лінії, до риє виходять перетином прямого кругового конуса площинами, не проходить через його вершину. К. с. можуть бути трьох типів: 1) січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини (рис., а): лінія перетину ... ... математична енциклопедія

Розділ геометрії. Основними поняттями А. р є найпростіші геометричні образи (точки, прямі, площини, криві і поверхні другого порядку). Основними засобами дослідження в А. р служать метод координат (див. Нижче) і методи ... ... Велика Радянська Енциклопедія

книги

• Короткий курс аналітичної геометрії, Єфімов Микола Володимирович. Предметом вивчення аналітичної геометрії є фігури, які в декартових координатах задаються рівняннями першого ступеня або другий. На площині - це прямі і лінії другого порядку. ...

Щоб пояснити це на конкретному прикладі, покажу вам, що відповідає в цій інтерпретації наступного твердження: (дійсна чи уявна) точка Р лежить на (дійсної чи уявної) прямий g. При цьому, звичайно, доводиться розрізняти такі випадки:

1) дійсна точка і дійсна пряма,

2) дійсна точка і уявна пряма,

Випадок 1) не вимагає від нас особливих роз'яснень; тут перед нами одне з основних співвідношень звичайної геометрії.

У разі 2) через задану дійсну точку обов'язково повинна проходити поряд із заданою уявної прямої також і комплексно сполучена з нею пряма; отже, ця точка повинна збігатися з вершиною того пучка променів, яким ми користуємося для зображення уявної прямої.

Подібно до цього в разі 3) дійсна пряма повинна бути тотожна з носієм тієї прямолінійної інволюції точок, яка служить представником заданої уявної точки.

Найбільш цікавим є випадок 4) (рис. 96): тут, очевидно, комплексно сполучена точка повинна також лежати на комплексно сполученої прямий, а це означає, що кожна пара точок інволюції точок, що зображає точку Р, повинна знаходитися на деякій парі прямих інволюції прямих , що зображає пряму g, т. е. що обидві ці інволюції повинні бути розташовані перспективно одна відносно іншої; крім того, виявляється, що і стрілки обох інволюцій також розташовані перспективно.

Взагалі, в аналітичної геометрії площині, яка приділяє увагу також і комплексної області, ми отримаємо повну дійсну картину цієї площини, якщо до сукупності всіх її дійсних точок і прямих приєднаємо в якості нових елементів сукупність розглянутих вище інволюційних фігур разом зі стрілками їх напрямків. Тут буде достатньо, якщо я окреслю в загальних обрисах, який вид прийняло б при цьому побудова такої дійсної картини комплексної геометрії. При цьому я буду дотримуватися того порядку, в якому тепер зазвичай викладають перші пропозиції елементарної геометрії.

1) Починають з аксіом існування, призначення яких - дати точне формулювання наявності щойно згаданих елементів в розширеній в порівнянні зі звичайною геометрією області.

2) Потім аксіоми з'єднання, які стверджують, що також і в певній в п. 1) розширеної області! через (кожні) дві точки проходить одна і тільки одна пряма і що (всякі) дві прямі мають одну і тільки одну спільну точку.

При цьому подібно до того, що ми мали вище, доводиться кожен раз розрізняти чотири випадки в залежності від того, чи є дійсними задані елементи, і представляється дуже цікавим точно продумати, які саме дійсні побудови з інволюція точок і прямих служать зображенням цих комплексних співвідношень.

3) Що ж стосується аксіом розташування (порядку), то тут в порівнянні з дійсними співвідношеннями виступають на сцену абсолютно нові обставини; зокрема, всі дійсні і комплексні точки, що лежать на одній фіксованій прямий, а також всі промені, що проходять через одну фіксовану точку, утворюють двовимірний континуум. Адже кожен з нас виніс з вивчення теорії функцій звичку зображати сукупність значень комплексної змінної усіма точками площини.

4) Нарешті, що стосується аксіом безперервності, то я вкажу тут тільки, як зображуються комплексні точки, що лежать як завгодно близько до якої-небудь дійсної точці. Для цього через взяту дійсну точку Р (або через якусь іншу близьку до неї дійсну точку) потрібно провести якусь пряму і розглянути на ній такі дві розділяють одна одну (т. Е. Що лежать «схрещеним чином») пари точок (рис . 97), щоб дві точки взяті з різних пар, лежали близько одна до одної і до точки Р; якщо тепер необмежено зближувати точки то інволюція, яка визначається названими парами точок, вироджується, тобто. е. обидві її до сих пір комплексні подвійні точки збігаються з точкою Кожна з обох уявних точок, зображуваних цієї інволюцією (разом з тією або іншою стрілкою), переходить, отже, безперервно в деяку точку, близьку до точки Р, або навіть безпосередньо в точку Р. Звичайно, для того щоб бути в змозі з користю застосовувати ці уявлення про безперервність, необхідно детально з ними попрацювати.

Хоча все це побудова і є в порівнянні зі звичайною дійсної геометрією досить громіздким і виснажливим, але зате воно може дати незрівнянно більше. Зокрема, воно здатне підняти на рівень повної геометричної наочності алгебраїчні образи, що розуміються як сукупності їх дійсних і комплексних елементів, і при його допомозі можна наочно усвідомити собі на самих фігурах такі теореми, як основна теорема алгебри або теорема Безу про те, що дві криві порядків мають, взагалі кажучи, рівно спільних точок. Для цієї мети слід було б, звичайно, осмислити основні положення в значно більш точної і наочній формі, ніж це було зроблено до сих пір; втім, в літературі вже є весь істотно необхідний для таких досліджень матеріал.

Але в більшості випадків застосування цього геометричного тлумачення призвело б все ж при всіх його теоретичних перевагах до таких ускладнень, що доводиться задовольнятися його принциповою можливістю і повертатися фактично до більш наївною точки зору, що полягає в наступному: комплексна точка є сукупність трьох комплексних координат, і з нею можна оперувати точно так же, як і з дійсними точками. Справді, таке введення уявних елементів, утримуватися від яких би то не було принципових міркувань, завжди виявлялося плідним в тих випадках, коли нам доводилося мати справу з уявними циклічними точками або з колом сфер. Як вже було сказано, вперше став користуватися уявними елементами в цьому сенсі Понселе; його послідовниками в цьому відношенні були інші французькі геометри, головним чином Шаль і Дарбу; в Німеччині ряд геометрів, особливо Лі, також застосовували з великим успіхом таке розуміння уявних елементів.

Цим відступом в область уявного я закінчую весь другий відділ мого курсу і звертаюся до нової чолі,

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли в лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вид дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, з канонічного рівняння «Плоскою» прямий, По-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге - елементарно проглядається належить їй точка і спрямовує вектор.

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкуявляє собою пряму. На другому ж поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато більш різноманітна компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку приводиться до одного з наступних видів:

(І - позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара пересічних прямих;

6) - пара уявнихпересічних прямих (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) - пара паралельних прямих;

8) - пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара збіглися прямих.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, в пункті №7 рівняння задає пару прямих, Паралельних осі, і виникає питання: а де ж рівняння, що визначає прямі, паралельні осі ординат? Відповідь: воно не рахується канонічним. Прямі є той же самий стандартний випадок, повернений на 90 градусів, і додаткова запис в класифікації надлишкова, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і тільки дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найбільш часто зустрічаються еліпс, гіпербола і парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний детальний висновок формул, доведення теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базильова / Атанасян або Александрова ..

Еліпс і його канонічне рівняння

Правопис ... будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати еллібз», «відмінність еліпса від овалу» і «ексцентриситет елебса».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд, де - позитивні дійсні числа, причому. Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки самий час відпочити від говорильні і вирішити поширену задачу:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім грамотно справляються з кресленням:

приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: Спочатку наведемо рівняння до канонічного виду:

Навіщо приводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє моментально визначити вершини еліпса, Які знаходяться в точках. Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння.

В даному випадку :


відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малої віссю;
число називають велика піввісьеліпса;
число – малої полуосью.
в нашому прикладі:.

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс досить подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все гаразд, складно і красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми. І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак в сувору дійсність на столі лежить картатий листок паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (правда, трохи менше). Таки недарма людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир і інші нехитрі пристосування для креслення.

З цієї причини нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще так-сяк, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але в загальному випадку вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса - геометричний і алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не самого короткого алгоритму і суттєвою захаращеності креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а в реальності ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- визначає верхню дугу еліпса;
- визначає нижню дугу еліпса.

Будь-еліпс симетричний щодо координатних осей, а також щодо початку координат. І це чудово - симетрія майже завжди провісник халяви. Очевидно, що досить розібратися з 1-ої координатної чвертю, тому нам буде потрібно функція . Напрошується знаходження додаткових точок з абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно і те, що якщо допущена серйозна помилка в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Відзначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на інших дугах (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Первинний нарис краще прокреслити тонко-тонко, і тільки потім додати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не бажаєте дізнатися, що це за крива?

8.3.15. Точка А лежить на прямій. Відстань від точки А до площини

8.3.16. Складіть рівняння прямої, симетричною прямий

відносно площини .

8.3.17. Складіть рівняння проекцій на площину наступних прямих:

а) ;

б)

в) .

8.3.18. Знайдіть кут між площиною і прямою:

а) ;

б) .

8.3.19. Знайдіть точку, симетричну точці відносно площини, що проходить через прямі:

і

8.3.20. Точка А лежить на прямій

Відстань від точки А до прямої одно. Знайдіть координати точки А.

§ 8.4. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Встановимо на площині прямокутну систему координат і розглянемо загальне рівняння другого ступеня

в котрому .

Безліч всіх точок площини, координати яких задовольняють рівняння (8.4.1), називається кривої (лінією) другого порядку.

Для будь-якої кривої другого порядку існує прямокутна система координат, яка називається канонічної, в якій рівняння цієї кривої має один з наступних видів:

1) (Еліпс);

2) (Уявний еліпс);

3) (Пара уявних пересічних прямих);

4) (Гіпербола);

5) (Пара пересічних прямих);

6) (Парабола);

7) (Пара паралельних прямих);

8) (Пара уявних паралельних прямих);

9) (Пара співпадаючих прямих).

Рівняння 1) - 9) називаються канонічними рівняннями кривих другого порядку.

Рішення завдання приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду включає знаходження канонічного рівняння кривої і канонічної системи координат. Приведення до канонічного вигляду дозволяє обчислити параметри кривої і визначити її розташування відносно початкової системи координат. Перехід від вихідної прямокутної системи координат до канонічної здійснюється шляхом повороту осей вихідної системи координат навколо точки О на деякий кут j і подальшого паралельного перенесення системи координат.

Інваріантами кривої другого порядку(8.4.1) називаються такі функції від коефіцієнтів її рівняння, значення яких не змінюються при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої такої ж системи.

Для кривої другого порядку (8.4.1) сума коефіцієнтів при квадратах координат

,

визначник, складений з коефіцієнтів при старших членах

і визначник третього порядку

є інваріантами.

Значення інваріантів s, d, D можна використовувати для визначення типу і складання канонічного рівняння кривої другого порядку.

Таблиця 8.1.

Класифікація кривих другого порядку, заснована на инвариантах

Розглянемо докладніше еліпс, гіперболу і параболу.

еліпсом(Рис. 8.1) називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок цій площині, званих фокусами еліпса, Є величина постійна (велика, ніж відстань між фокусами). При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Якщо фокуси збігаються, то еліпс являє собою коло.

Полусумму відстаней від точки еліпса до його фокусів позначають через а, половину відстаней між фокусами - с. Якщо прямокутна система координат на площині обрана так, що фокуси еліпса розташовуються на осі Оx симетрично відносно початку координат, то в цій системі координат еліпс задається рівнянням

, (8.4.2)

званим канонічним рівнянням еліпса, де .

Мал. 8.1

При зазначеному виборі прямокутної системи координат еліпс симетричний щодо осей координат і початку координат. Осі симетрії еліпса називають його осями, А центр симетрії - центром еліпса. Разом з тим часто осями еліпса називають числа 2a і 2b, а числа a і b - великийі малої полуосьювідповідно.

Точки перетину еліпса з його осями називаються вершинами еліпса. Вершини еліпса має координати (а, 0), (-а, 0), (0, b), (0, -b).

ексцентриситетом еліпсаназивається число

Оскільки 0 £ c

.

Звідси видно, що ексцентриситет характеризує форму еліпса: чим ближче e до нуля, тим більше еліпс схожий на коло; при збільшенні e еліпс стає більш витягнутим.

Ми зараз покажемо, що аффинная класифікація кривих другого порядку дається самими назвами кривих, т. Е. Що аффіннимі класами кривих другого порядку є класи:

дійсних еліпсів;

уявних еліпсів;

гіпербол;

пар дійсних пересічних прямих;

пар уявних (пов'язаних) перетинаються;

пар паралельних дійсних прямих;

пар паралельних уявних пов'язаних прямих;

пар співпадаючих дійсних прямих.

Треба довести два твердження:

А. Всі криві одного найменування (т. Е. Все еліпси, все гіперболи і т. Д.) Афінно еквівалентні між собою.

Б. Дві криві різних найменувань ніколи не є афінно еквівалентними.

Доводимо твердження А. У розділі XV, § 3, вже було доведено, що всі еліпси афінно еквівалентні одному з них, а саме окружності а все гіперболи - гіперболи Значить, все еліпси, відповідно всі гіперболи, афінно еквівалентні між собою. Всі уявні еліпси, будучи афінно еквівалентні колу - - 1 радіуса також афінно еквівалентні між собою.

Доведемо аффинную еквівалентність всіх парабол. Ми доведемо навіть більше, а саме що все параболи подібні між собою. Досить довести, що парабола, дана в деякій системі координат своїм канонічним рівнянням

подібна параболі

Для цього піддамо площину перетворення подібності з коефіцієнтом -:

Тоді так що при нашому перетворенні крива

переходить в криву

т. е. в параболу

що і потрібно було довести.

Переходимо до розпадаються кривим. У § формули (9) і (11), стор. 401 і 402) було доведено, що крива, що розпадається на пару пересічних прямих, в деякій (навіть прямокутної) системі координат має рівняння

Роблячи додаткове перетворення координат

бачимо, що будь-яка крива, що розпадається на пару пересічних дійсних, відповідно уявних пов'язаних, прямих, має в деякій аффинной системі координат рівняння

Що стосується кривих, що розпадаються на пару паралельних прямих, то кожна з них може бути (навіть в деякій прямокутній системі координат) задана рівнянням

для дійсних, відповідно

для уявних, прямих. Перетворення координат дозволяє в цих рівняннях покласти (або для співпадаючих прямих Звідси випливає аффинная еквівалентність всіх розпадаються кривих другого порядку, що мають одне і те ж найменування.

Переходимо до доведення твердження Б.

Зауважимо насамперед: при афінному перетворенні площині порядок алгебраїчної кривої залишається незмінним. Далі: будь-яка розпадається крива другого порядку є пара прямих, а при афінному перетворенні пряма переходить в пряму, пара пересічних прямих переходить в пару пересічних, а пара паралельних - в пару паралельних; крім того, дійсні прямі переходять в дійсні, а уявні - в уявні. Це випливає з того, що всі коефіцієнти в формулах (3) (гл. XI, § 3), що визначають Афінний перетворення, суть дійсні числа.

Зі сказаного випливає, що лінія, афінно еквівалентна даній розпадається кривої другого порядку, є розпадається крива того ж найменування.

Переходимо до нераспадающіхся кривим. Знову-таки при афінному перетворенні дійсна крива не може перейти в уявну, і назад. Тому клас уявних еліпсів аффінно інваріантний.

Розглянемо класи дійсних нераспадающіхся кривих: еліпсів, гіпербол, парабол.

Серед всіх кривих другого порядку всякий еліпс, і тільки еліпс, лежить в деякому прямокутнику, тоді як параболи і гіперболи (так само як і всі розпадаються криві) простягаються в нескінченність.

При афінному перетворенні прямокутник ABCD, що містить даний еліпс, перейде в паралелограм, що містить перетворену криву, яка, таким чином, не може йти в нескінченність і, отже, є еліпсом.

Отже, крива, афінно еквівалентна еліпсу, є неодмінно еліпс. З доведеного випливає, що крива, афінно еквівалентна гіперболи або параболі, не може бути еліпсом (а також, як ми знаємо, не може бути і розпадається кривої. Тому залишається лише довести, що при афінному перетворенні площині гіпербола не може перейти в параболу, і навпаки. Це, мабуть, найпростіше випливає з того, що у параболи немає центру симетрії, а у гіперболи він є. Але так як відсутність центру симетрії у параболи буде доведено лише в наступному розділі, то ми зараз дамо другий, так само дуже просте доказ аффинной нееквівалентності гіперболи і параболи.

Лемма. Якщо парабола має загальні точки з кожної з двох напівплощин, що визначаються в площині даної прямої d, то вона має хоча б одну спільну точку і з прямою.

Справді, ми бачили, що існує така система координат, в якій дана парабола має рівняння

Нехай щодо цієї системи координат пряма d має рівняння

За припущенням на параболі є дві точки з яких одна, покладемо лежить в позитивній, а інша, - в негативній півплощині щодо рівняння (1). Тому, пам'ятаючи, що можемо написати