Тригонометричний ряд і його основні властивості. Мітка: тригонометричний ряд Фур'є. Збіжність ряду Фур'є в точці

Умова Гельдера.Будемо говорити, що функція $ f (x) $ задовольняє в точці $ x_0 $ умови Гельдера, якщо існують односторонні кінцеві межі $ f (x_0 \ pm 0) $ і такі числа $ \ delta> 0 $, $ \ alpha \ in ( 0,1] $ і $ c_0> 0 $, що для всіх $ t \ in (0, \ delta) $ виконані нерівності: $ | f (x_0 + t) -f (x_0 + 0) | \ leq c_0t ^ ( \ alpha) $, $ | f (x_0-t) -f (x_0-0) | \ leq c_0t ^ (\ alpha) $.

Формула Дирихле.Перетвореної формулою Дирихле називають формулу виду:
$$ S_n (x_0) = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) (f (x_0 + t) + f (x_0-t)) D_n (t) dt \ quad (1), $$ де $ D_n (t) = \ frac (1) (2) + \ cos t + \ ldots + \ cos nt = \ frac (\ sin (n + \ frac (1) (2)) t) (2 \ sin \ frac (t) (2)) (2) $ -.

Використовуючи формули $ (1) $ і $ (2) $, запишемо часткову суму ряду Фур'є в наступному вигляді:
$$ S_n (x_0) = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ frac (f (x_0 + t) + f (x_0-t)) (2 \ sin \ frac (t) (2)) \ sin \ left (n + \ frac (1) (2) \ right) t dt $$
$$ \ Rightarrow \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) S_n (x_0) - \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ frac (f (x_0 + t) + f (x_0-t)) (2 \ sin \ frac (t) (2)) \ cdot \\ \ cdot \ sin \ left (n + \ frac (1) (2) \ right) t dt = 0 \ quad (3) $$

Для $ f \ equiv \ frac (1) (2) $ формула $ (3) $ приймає наступний вигляд: $$ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ frac (1) (\ delta) \ frac (\ sin (n + \ frac (1) (2)) t) (2 \ sin \ frac (t) (2)) dt = \ frac (1) (2), 0

Збіжність ряду Фур'є в точці

Теорема.Нехай $ f (x) $ - $ 2 \ pi $ -періодична абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція і в точці $ x_0 $ задовольняє умові Гельдера. Тоді ряд Фур'є функції $ f (x) $ в точці $ x_0 $ сходиться до числа $$ \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $$

Якщо в точці $ x_0 $ функція $ f (x) $ - безперервна, то в цій точці сума ряду дорівнює $ f (x_0) $.

Доведення

Так як функція $ f (x) $ задовольняє в точці $ x_0 $ умові Гельдера, то при $ \ alpha> 0 $ і $ 0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Запишемо при заданому $ \ delta> 0 $ рівності $ (3) $ і $ (4) $. Помноживши рівність $ (4) $ на $ f (x_0 + 0) + f (x_0-0) $ і віднімаючи результат з рівності $ (3) $, отримуємо $$ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) (S_n (x_0) - \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2) - \\ - \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ delta) \ frac (f (x_0 + t) + f (x_0-t) -f (x_0 + 0) -f (x_0-0)) (2 \ sin \ frac (t) (2)) \ cdot \\ \ cdot \ sin \ left (n + \ frac (1) (2) \ right) t \, dt) = 0. \ quad (5) $$

З умови Гельдера слід, що функція $$ \ Phi (t) = \ frac (f (x_0 + t) + f (x_0-t) -f (x_0 + 0) -f (x_0-0)) (2 \ sin \ frac (t) (2)). $$ абсолютно інтегровна на відрізку $$. Справді, застосовуючи нерівність Гельдера, отримуємо, що для функції $ \ Phi (t) $ справедливо наступне нерівність: $ | \ Phi (t) | \ Leq \ frac (2c_0t ^ (\ alpha)) (\ frac (2) (\ pi) t) = \ pi c_0t ^ (\ alpha - 1) (6) $, де $ \ alpha \ in (0,1 ] $.

В силу ознаки порівняння для невласних інтегралів з нерівності $ (6) $ випливає, що $ \ Phi (t) $ абсолютно інтергріруема на $. $

В силу леми Рімана $$ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ int \ limits_ (0) ^ (\ delta) \ Phi (t) \ sin \ left (n + \ frac (1) (2) \ right) t \ cdot dt = 0. $$

З формули $ (5) $ тепер слід, що $$ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) S_n (x_0) = \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $$

[Згорнути]

Слідство 1.Якщо $ 2 \ pi $ -періодична і абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція $ f (x) $ має в точці $ x_0 $ похідну, то її ряд Фур'є сходиться в цій точці до $ f (x_0) $.

Слідство 2.Якщо $ 2 \ pi $ -періодична і абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція $ f (x) $ має в точці $ x_0 $ обидві односторонні похідні, то її ряд Фур'є сходиться в цій точці до $ \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $

Слідство 3.Якщо $ 2 \ pi $ -періодична і абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція $ f (x) $ задовольняє в точках $ - \ pi $ і $ \ pi $ умові Гельдера, то в силу періодичності сума ряду Фур'є в точках $ - \ pi $ і $ \ pi $ дорівнює $$ \ frac (f (\ pi-0) + f (- \ pi + 0)) (2). $$

ознака Діні

Визначення.Нехай $ f (x) $ - $ 2 \ pi $ -періодична функція, Точка $ x_0 $ буде регулярною точкою функції $ f (x) $, якщо

1) існують кінцеві лівий і правий межі $ \ lim \ limits_ (x \ to x_0 + 0) f (x) = \ lim \ limits_ (x \ to x_0-0) f (x) = f (x_0 + 0) = f (x_0-0), $

2) $ f (x_0) = \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $

Теорема.Нехай $ f (x) $ - $ 2 \ pi $ -періодична абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція і точка $ x_0 \ in \ mathbb (R) $ - регулярна точка функції $ f (x) $ . Нехай функція $ f (x) $ задовольняє в точці $ x_0 $ умовами Діні: існують невласні інтеграли $$ \ int \ limits_ (0) ^ (h) \ frac (| f (x_0 + t) -f (x_0 + 0) |) (t) dt, \\ \ int \ limits_ (0) ^ (h) \ frac (| f (x_0-t) -f (x_0-0) |) (t) dt, $$

тоді ряд Фур'є функції $ f (x) $ в точці $ x_0 $ має суму $ f (x_0) $, тобто $$ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) S_n (x_0) = f (x_0) = \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $$

Доведення

Для часткової суми $ S_n (x) $ ряду Фур'є має місце інтегральне уявлення $ (1) $. І в силу рівності $ \ frac (2) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) D_n (t) \, dt = 1, $
$$ f (x_0) = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) f (x_0 + 0) + f (x_0-0) D_n (t) \, dt $$

Тоді маємо $$ S_n (x_0) -f (x_0) = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) (f (x_0 + t) -f (x_0 + 0)) D_n (t) \, dt + $$ $$ + \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) (f (x_0-t) -f (x_0-0)) D_n (t) \, dt. \ Quad (7) $$

Очевидно, що теорема буде доведена, якщо доведемо, що обидва інтеграла у формулі $ (7) $ мають межі при $ n \ to \ infty $ рівні $ 0 $. Розглянемо перший інтеграл: $$ I_n (x_0) = \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) (f (x_0 + t) -f (x_0 + 0)) D_n (t) dt. $$

У точці $ x_0 $ виконується умова Діні: сходиться невласний інтеграл $$ \ int \ limits_ (0) ^ (h) \ frac (| f (x_0 + t) -f (x_0 + 0) |) (t) \, dt . $$

Тому для будь-якого $ \ varepsilon> 0 $ існує $ \ delta \ in (0, h) $ таке, що $$ \ int \ limits_ (0) ^ (\ delta) \ frac (\ left | f (x_0 + t) -f (x_0 + 0) \ right |) (t) dt

За обраному $ \ varepsilon> 0 $ і $ \ delta> 0 $ інтеграл $ I_n (x_0) $ представимо у вигляді $ I_n (x_0) = A_n (x_0) + B_n (x_0) $, де
$$ A_n (x_0) = \ int \ limits_ (0) ^ (\ delta) (f (x_0 + t) -f (x_0 + 0)) D_n (t) dt, $$ $$ B_n (x_0) = \ int \ limits _ (\ delta) ^ (\ pi) (f (x_0 + t) -f (x_0 + 0)) D_n (t) dt. $$

Розглянемо спочатку $ A_n (x_0) $. Використовуючи оцінку $ \ left | D_n (t) \ right |

для всіх $ t \ in (0, \ delta) $.

Тому $$ A_n (x_0) \ leq \ frac (\ pi) (2) \ int \ limits_ (0) ^ (\ delta) \ frac (| f (x_0 + t) -f (x_0 + 0) |) ( t) dt

Перейдемо до оцінки інтеграла $ B_n (x_0) $ при $ n \ to \ infty $. Для цього введемо функцію $$ \ Phi (t) = \ left \ (\ begin (matrix)
\ Frac (f (x_0 + t) -f (x_0 + 0)) (2 \ sin \ frac (t) (2)), 0

$$ B_n (x_0) = \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) \ Phi (t) \ sin \ left (n + \ frac (1) (2) \ right) t \, dt. $$ отримуємо, що $ \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) B_n (x_0) = 0 $, а це означає, що для обраного раніше довільного $ \ varepsilon> 0 $ існує таке $ N $, що для всіх $ n> N $ виконується нерівність $ | I_n (x_0) | \ leq | A_n (x_0) | + | B_n (x_0) |

Цілком аналогічно доводиться, що і другий інтеграл формули $ (7) $ має рівний нулю межа при $ n \ to \ infty $.

[Згорнути]

слідствоЯкщо $ 2 \ pi $ періодична функція $ f (x) $ кусочно діфференцііруема на $ [- \ pi, \ pi] $, то її ряд Фур'є в будь-якій точці $ x \ in [- \ pi, \ pi] $ сходиться до числа $$ \ frac (f (x_0 + 0) + f (x_0-0)) (2). $$

На відрізку $ [- \ pi, \ pi] $ знайти тригонометричний ряд Фур'є функції $ f (x) = \ left \ (\ begin (matrix)
1, x \ in (0, \ pi), \\ -1, x \ in (- \ pi, 0),
\\ 0, x = 0.
\ End (matrix) \ right. $

Дослідити збіжність отриманого ряду.

Продовжуючи періодично $ f (x) $ на всю речову вісь, отримаємо функцію $ \ widetilde (f) (x) $, графік якої зображено на малюнку.

Так як функція $ f (x) $ непарна, то $$ a_k = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos kx dx = 0; $$

$$ b_k = \ frac (1) (\ pi) \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin kx \, dx = $$ $$ = \ frac (2) (\ pi) \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) f (x) \ sin kx \, dx = $$ $$ = - \ frac (2) (\ pi k) (1 \ cos k \ pi) $$

$$ b_ (2n) = 0, b_ (2n + 1) = \ frac (4) (\ pi (2n + 1)). $$

Отже, $ \ tilde (f) (x) \ sim \ frac (4) (\ pi) \ sum_ (n = 0) ^ (\ infty) \ frac (\ sin (2n + 1) x) (2n + 1 ). $

Так як $ (f) "(x) $ існує при $ x \ neq k \ pi $, то $ \ tilde (f) (x) = \ frac (4) (\ pi) \ sum_ (n = 0) ^ (\ infty) \ frac (\ sin (2n + 1) x) (2n + 1) $, $ x \ neq k \ pi $, $ k \ in \ mathbb (Z). $

У точках $ x = k \ pi $, $ k \ in \ mathbb (Z) $, функція $ \ widetilde (f) (x) $ не визначена, а сума ряду Фур'є дорівнює нулю.

Вважаючи $ x = \ frac (\ pi) (2) $, отримуємо рівність $ 1 - \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) - \ ldots + \ frac ((- 1) ^ n) (2n + 1) + \ ldots = \ frac (\ pi) (4) $.

[Згорнути]

Знайти ряд Фур'є наступній $ 2 \ pi $ -періодичних і абсолютно інтегрованою на $ [- \ pi, \ pi] $ функції:
$ F (x) = - \ ln |
\ Sin \ frac (x) (2) | $, $ x \ neq 2k \ pi $, $ k \ in \ mathbb (Z) $, і досліджувати на збіжність отриманого ряду.

Так як $ (f) "(x) $ існує при $ x \ neq 2k \ pi $, то ряд Фур'є функції $ f (x) $ буде сходитися в усіх точках $ x \ neq 2k \ pi $ до значення функції. Очевидно , що $ f (x) $ парна функція і тому її розкладання в ряд Фур'є має містити косинуси. Знайдемо коефіцієнт $ a_0 $. Маємо $$ \ pi a_0 = -2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ ln \ sin \ frac (x) (2) dx = $$ $$ = -2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ frac (\ pi) (2)) \ ln \ sin \ frac (x) (2) dx \, - \, 2 \ int \ limits _ (\ frac (\ pi) (2)) ^ (\ pi) \ ln \ sin \ frac (x) (2) dx = $$ $$ = -2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ frac (\ pi) (2)) \ ln \ sin \ frac (x) (2) dx \, - \, 2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ frac (\ pi ) (2)) \ ln \ cos \ frac (x) (2) dx = $$ $$ = -2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ frac (\ pi) (2)) \ ln (\ frac (1) (2) \ sin x) dx = $$ $$ = \ pi \ ln 2 \, - \, 2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ frac (\ pi) (2)) \ ln \ sin x dx = $$ $$ = \ pi \ ln 2 \, - \, \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ ln \ sin \ frac (t) (2) dt = \ pi \ ln 2 + \ frac (\ pi a_0) (2), $$ звідки $ a_0 = \ pi \ ln 2 $.

Знайдемо тепер $ a_n $ при $ n \ neq 0 $. Маємо $$ \ pi a_n = -2 \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ cos nx \ ln \ sin \ frac (x) (2) dx = $$ $$ = \ int \ limits_ (0) ^ (\ pi) \ frac (\ sin (n + \ frac (1) (2)) x + \ sin (n- \ frac (1) (2)) x) (2n \ sin \ frac (x) (2) ) dx = $$ $$ = \ frac (1) (2n) \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) \ begin (bmatrix)
D_n (x) + D_ (n-1) (x) \\ \ end (bmatrix) dx. $$

Тут $ D_n (x) $ - ядро Діріхле, яке визначається формулою (2) і отримуємо, що $ \ pi a_n = \ frac (\ pi) (n) $ і, отже, $ a_n = \ frac (1) (n) $. Таким чином, $$ - \ ln |
\ Sin \ frac (x) (2) | = \ Ln 2 + \ sum_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ cos nx) (n), x \ neq 2k \ pi, k \ in \ mathbb (Z). $$

[Згорнути]

література

Лисенко З.М., конспект лекцій з математичного аналізу, 2015-2016 рр.
Тер-Крікоров А.М. і Шабунін М.І. Курс математичного аналізу, стор. 581-587
Демидович Б.П., Збірник завдань і вправ з математичного аналізу, видання 13, виправлене, Видавництво ЧеРо, 1997, стор. 259-267

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 з 5 завдань закінчено

інформація

Тест по матеріалу даної теми:

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується ...

Ви повинні увійти або зареєструватися для того, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати цей:

результати

Правильних відповідей: 0 з 5

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0)

Ваш результат був записаний в таблицю лідерів

З відповіддю
З відміткою про перегляд

Завдання 1 з 5

1 .
Кількість балів: 1
Якщо $ 2 \ pi $ -періодична і абсолютно інтегровна на $ [- \ pi, \ pi] $ функція $ f (x) $ має в точці $ x_0 $ похідну, то до чого буде сходити її ряд Фур'є в цій точці?
Завдання 2 з 5

2 .
Кількість балів: 1
Якщо виконані всі умови ознаки Діні, то до якого числа сходиться ряд Фур'є функції $ f $ в точці $ x_0 $?

Тригонометричні ряди Визначення. Функція / (ж), певна на необмеженій множині D, називається періодичною, якщо існує число Т Ф 0 таке, що для кожного ж. € D виконується умова. Найменше з таких чисел Т називається періодом функції f (x). Приклад 1. Функція визначена на інтервалі є періодичною, так як існує число Т = 2 * ф Про таке, що для всіх х виконується умова. Таким чином, функція sin х має період Т = 2ж. Те ж саме відноситься і до функції Приклад 2. Функція визначена на множині D чисел є періодичною, так як існує число Т Ф 0, а саме, Т = таке, що для х 6 D маємо Визначення. Функціональний ряд виду ат ЛАВИ ФУР'Е Тригонометричні ряди Ортогональность тригонометричної системи Тригонометричний ряд Фур'є Достатні умови разложимости функції в ряд Фур'є називається тригонометричним рядом, а постійні а0, а ", Іоп (n = 1, 2, ...) називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду (1 ). Часткові суми 5п (ж) тригонометричного ряду (1) є лінійними комбінаціями функцій з системи функцій яка називається тригонометричної системою. Так як членами цього ряду є періодичні функції з періодом 2л-, то в разі збіжності ряду (I) його сума S (x) буде періодичною функцією з періодом Т = 2тт: Визначення. Розкласти періодичну функцію f (x) з періодом Т = 2п в тригонометричний ряд (1) означає знайти сходиться тригонометричний ряд, сума якого дорівнює функції / (х). . Ортогональность тригонометричної системи Визначення. Функції f (x) і д (х), безперервні на відрізку [а, 6], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо виконана умова Наприклад, функції ортогональні на відрізку [-1,1], так як Визначення. Кінцева або нескінченна система функцій, що інтегруються на відрізку [а, видання], називається ортогональною системою на відрізку [а, 6), якщо для будь-яких номерів тип таких, що т Ф п, виконується рівність Теорема 1. Тригонометрична система ортогональна на відрізку При будь-якому цілому п Ф Про маємо За допомогою відомих формул тригонометрії для будь-яких натуральних m і n, m Ф n, знаходимо: Нарешті, в силу формули для будь-яких цілих тип отримуємо Тригонометричний ряд Фур'є Поставимо собі завданням обчислити коефіцієнти тригонометричного ряду (1), знаючи функцію Теорема 2. Нехай рівність має місце для всіх значень х, причому ряд в правій частині рівності сходиться рівномірно на відрізку [-зг, х]. Тоді справедливі формули З рівномірної збіжності ряду (1) випливає безперервність, а значить, і інтегрованість функції / (х). Тому рівності (2) мають сенс. Більш того, ряд (1) можна почленно інтегрувати. Маємо звідки і слід перша з формул (2) для п = 0. Помножимо тепер обидві частини рівності (1) на функцію cos mi, де т - довільне натуральне число: Ряд (3), як і ряд (1), сходиться рівномірно. Тому його можна інтегрувати почленно, Всі інтеграли в правій частині, крім одного, який виходить при п = т, дорівнюють нулю в силу ортогональності тригонометричної системи. Тому звідки Аналогічно, множачи обидві частини рівності (1) на sinmx і інтегруючи від -тг до т, отримаємо звідки Нехай дана довільна періодична функція f (x) періоду 2 *, інтегрована на відрізку *]. Чи можна її уявити у вигляді суми деякого сходиться тригонометричного ряду, заздалегідь невідомо. Однак за формулами (2) можна обчислити постійні а "і Іоп. Визначення. Тригонометричний ряд коефіцієнти oq, ап, Ь "якого визначаються через функцію f (x) за формулами ЛАВИ ФУР'Е Тригонометричні ряди Ортогональность тригонометричної системи Тригонометричний ряд Фур'є Достатні умови разложимости функції в ряд Фур'є називається тригонометричним рядом Фур'є функції f (x), а коефіцієнти а" , bnt визначаються за цими формулами, називаються коефіцієнтами Фур'є функції / (ж). Кожній інтегрованою на відрізку [-тг, -к] функції f (x) можна поставити у відповідність її ряд Фур'є тобто тригонометричний ряд, коефіцієнти якого визначаються за формулами (2). Однак якщо від функції f (x) не вимагати нічого, крім інтегрованості на відрізку [--Я *, тг], то знак відповідності в останньому співвідношенні, взагалі кажучи, не можна замінити знаком рівності. Зауваження. Часто потрібно розкласти в тригонометричний ряд функцію / (х), визначену тільки на відрізку (- *, п \ і, отже, не є періодичною. Так як в формулах (2) для коефіцієнтів Фур'є інтеграли обчислюються по відрізку *], то для такої функції теж можна написати тригонометричний ряд Фур'є. Разом з тим, якщо продовжити функцію f (x) періодично на всю вісь Ох, то отримаємо функцію F (x), періодичну з періодом 2п, збігається з / (х) на інтервалі (-ir, л):. Цю функцію F (x) називають періодично. ^ продагженіем функції / (х). При цьому функція F (x) не має однозначного визначення в точках х = ± п, ± 3гг, ± 5тг, .... Ряд Фур'є для функції F (x) тотожний ряду Фур'є для функції / (х). до того ж, якщо ряд Фур'є для функції / (х) сходиться до неї, то його сума, будучи періодичної функцією, дає періодичне продовження функції / (х) з відрізка | -jt, п \ на всю вісь Ох. У цьому сенсі говорити про ряд Фур'є для функції / (х), визначеної на відрізку (-я-, jt |, рівнозначно тому, що говорити про ряд Фур'є для функції F (x), що є періодичним продовженням функції / (х) на всю вісь Ох. звідси випливає, що ознаки збіжності рядів Фур'є досить сформулювати для періодичних функцій. §4. Достатні умови разложимости функції в ряд Фур'є Наведемо остаточний признак збіжності ряду Фур'є, т. е. сформулюємо умови на задану функцію, при виконанні яких побудований за нею ряд Фур'є сходиться, і з'ясуємо, як при цьому поводиться сума цього ряду. Важливо підкреслити, що хоча наведений нижче клас кусочно-монотонних функцій і є досить широким, функції, ряд Фур'є для яких сходиться, їм не вичерпуються. Визначення. Функція f ( x) називається кусочно-монотонної на відрізку [а, 6], якщо цей відрізок можна розбити кінцевим числом точок на інтервали, на кожному з яких f (x) монотонна, тобто або не убуває, або не зростає (див. рис . 1). Приклад 1. Функція є кусочно-монотонної на інтервалі (-оо, оо), так як цей інтервал можна розбити на два інтервали (-сю, 0) і (0, + оо), на першому з яких вона убуває (і значить, не збільшується), а на другому зростає (і значить, не убуває). Приклад 2. Функція кусочно-монотонна на відрізку [-зг, jt |, так як цей відрізок можна розбити на два інтервали на першому з яких cos я зростає від -I до +1, а на другому убуває від. Теорема 3. Функція f (x), кусочно-монотонна і обмежена на відрізку (а, Ь], може мати на ньому тільки точки розриву першого роду. Л Нехай, наприклад, - точка розриву функції / (ж). Тоді в силу обмеженості функції f (x) і монотонності по обидва боки отточкі з існують кінцеві односторонні межі Це означає, що точка з є точка розриву першого роду (рис. 2). Теорема 4. Якщо періодична функція / (ж) з періодом 2тг кусочно-монотонна і обмежена на відрізку [-т, т), то її ряд Фур'є сходиться в кожній точці х цього відрізка, причому для суми цього ряду виконуються рівності: ПрммерЗ. Функція / (z) періоду 2jt, яка визначається на інтервалі (- *, *) рівністю (рис. 3), задовольняє умовам теореми. Тому її можна розкласти в ряд Фур'є. Знаходимо для неї коефіцієнти Фур'є: Ряд Фур'є для даної функції має вигляд Приклад 4. Розкласти функцію в ряд Фур'є (рис.4) на інтервалі Ця функція задовольняє умовам теореми. Знайдемо коефіцієнти Фур'є. Використовуючи властивість адитивності певного інтеграла, матимемо ЛАВИ ФУР'Е Тригонометричні ряди Ортогональность тригонометричної системи Тригонометричний ряд Фур'є Достатні умови разложимости функції в ряд Фур'є Отже, ряд Фур'є має наступний вигляд: На кінцях відрізка (-я, ir], т. е. в точках х = х і х = х, які є точками розриву першого роду, матимемо Зауваження. Якщо в знайденому ряді Фур'є покласти х = 0, то отримаємо звідки

Рішення Нав'є придатне тільки для розрахунку пластинок, шарнірно опертих по контуру. Більш загальним є рішення Леві. Воно дозволяє виконати розрахунок пластинки, шарнірно опертої по двох паралельних сторонам, з довільними граничними умовами на кожній з двох інших сторін.

У прямокутної платівці, зображеної на рис. 5.11, (a), шарнірно опертими є краю, паралельні осі y. Граничні умови на цих краях мають вигляд

Мал. 5.11

Очевидно, що кожен член нескінченного тригонометричного ряду

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif "width =" 99 "height =" 49 ">; другі приватні похідні функції прогинів

(5.45)

при x = 0 і x = aтакож дорівнюють нулю, оскільки містять https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif "width =" 279 "height =" 201 src = "> (5.46)

Підстановка (5.46) в (5.18) дає

Помноживши обидві частини отриманого рівняння на, інтегруючи в межах від 0 до aі пам'ятаючи, що

отримуємо для визначення функції Ymтаке лінійне диференціальнерівняння з постійними коефіцієнтами

. (5.48)

Якщо для скорочення запису позначити

рівняння (5.48) набуде вигляду

. (5.50)

Загальне рішення неоднорідного рівняння (5.50), як відомо з курсу диференціальних рівнянь, має вигляд

Ym(y) = jm (y)+ Fm(y), (5.51)

де jm (y) - приватне рішення неоднорідного рівняння (5.50); його вид залежить від правої частини рівняння (5.50), т. е., фактично, від виду навантаження q (x, y);

Fm(y)= Am shamy + Bm chamy + y(Cm shamy + Dm chamy), (5.52)

спільне рішення однорідного рівняння

Чотири довільні постійні Am,Вm ,Cmі Dmповинні бути визначені з чотирьох умов закріплення країв пластинки, паралельних осі, прикладена до платівці постійна q (x, y) = qправа частина рівняння (5.50) набуває вигляду

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif "width =" 324 "height =" 55 src = ">. (5.55)

Оскільки права частина рівняння (5.55) постійна, то постійна і ліва його частина; тому всі похідні jm (y) Дорівнюють нулю, і

, (5.56)

, (5.57)

де позначено:.

Розглянемо платівку, защемленняуздовж країв, паралельних осі х(Рис. 5.11, (в)).

Граничні умови по краях y = ± b/2

. (5.59)

Внаслідок симетрії прогину пластинки щодо осі Проx, В загальному рішенні (5.52) слід зберегти лише члени, що містять парні функції. оскільки sh amy- функція непарна, а СH am y- парна і, при прийнятому положенні осі Ох, y sh amy- парне, в у ch am y- непарній, то загальний інтеграл (5.51) в даному випадку можна уявити так

. (5.60)

Оскільки в (5.44) не залежить від значення аргументу y, Другу пару граничних умов (5.58), (5.59) можна записати у вигляді:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ m = = 0. (5.62)

Y¢ m = amBm sh amy + Cm sh amy + y Cmam ch amy =

amBm sh amy + Cm(sh amy + yam ch amy)

З (5.60) - (5.63) слід

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif "width =" 364 "height =" 55 src = ">. (5.65)

Домножимо рівняння (5.64) на, а рівняння (5..gif "width =" 191 "height =" 79 src = ">. (5.66)

Підстановка (5.66) в рівняння (5.64) дозволяє отримати Bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif "width =" 511 "height =" 103 ">. (5.68)

При такому вираженні функції Ym. , Формула (5.44) для визначення функції прогинів набуває вигляду

(5.69)

Ряд (5.69) швидко сходиться. Наприклад, для квадратної пластинки в її центрі, т. Е. При x =a/2, y = 0

(5.70)

Утримавши в (5.70) тільки один член ряду, т. Е. Прийнявши , Отримаємо величину прогину, завищену менш ніж на 2,47%. Врахувавши, що p 5 = 306,02, знайдемо Варіація "href =" / text / category / variatciya / "rel =" bookmark "> варіаційний метод В..Рітца - базується на сформульованому в п. 2 вариационном принципі Лагран-жа.

Розглянемо цей метод стосовно до задачі вигину пластинок. Уявімо вигнуту поверхню пластинки у вигляді ряду

, (5.71)

де fi(x, y) Безперервні координатні функції, кожна з яких повинна задовольняти кинематическимграничним умовам; Ci- невідомі параметри, які визначаються з рівняння Лагранжа. це рівняння

(5.72)

призводить до системи з nалгебраїчних рівнянь щодо параметрів Ci.

У загальному випадку енергія деформації пластинки складається з згинальної U і мембранної U mчастин

, (5.73)

, (5.74)

де МХ.,Мy. ,Мxy- ізгібние зусилля; Nх., Ny. , Nxy- мембранні зусилля. Відповідна поперечним силам частина енергії невелика і нею можна знехтувати.

якщо u, vі w- складові дійсного переміщення, px. , pyі pz- складові інтенсивності поверхневого навантаження, Рi- зосереджена сила, D iвідповідне їй лінійне переміщення, Мj- зосереджений момент, qj- відповідний йому кут повороту (рис. 5.12) то потенційну енергію зовнішніх сил можна представити так:

Якщо краї пластинки допускають переміщення, то крайові сили vn. , mn. , mnt(Рис. 5.12, (а)) збільшують потенціал зовнішніх сил

Мал. 5.12

тут nі t- нормаль і дотична до елементу краю ds.

В декартових координатах, з урахуванням відомих виразів для зусиль і кривизн

, (5.78)

повна потенційна енергія Е прямокутної пластинки розміром a ´ b, При дії тільки вертикального навантаження pz

(5.79)

Як приклад розглянемо прямокутну пластинку з відношенням сторін 2 a'2 b(Рис. 5.13).

Платівка затиснена по контуру і навантажена рівномірним навантаженням

pz = Q = const. В цьому випадку вираз (5.79) для енергії Е спрощується

. (5.80)

приймемо для w(x, y) ряд

який задовольняє контурним умовам

Мал. 5.13

Утримаємо тільки перший член ряду

Тоді згідно (5.80)

Мінімізуючи енергію Е згідно (5..gif "width =" 273 height = 57 "height =" 57 ">.

Прогин центру квадратної пластинки розміром 2 а'2 а

що на 2,5% більше точного рішення 0,0202 qa 4/D. Відзначимо, що прогин центру пластинки, опертої по чотирьох сторонах, в 3,22 рази більше.

Цей приклад ілюструє переваги методу: простоту і можливість отримання хорошого результату. Платівка може мати різні обриси, змінну товщину. Труднощі в цьому методі, як, втім, і в інших енергетичних методах, виникають при виборі відповідних координатних функцій.

5.8. Дослідження методу ортогоналізації

Дослідження методу ортогоналізації, запропонований і, заснований на наступному властивості ортогональних функцій ji. , jj

. (5.82)

Прикладом ортогональних функцій на інтервалі ( – p, p) Можуть служити тригонометричні функції cos nxі sin nxдля яких

Якщо одна з функцій, наприклад функція ji (x) Тотожно дорівнює нулю, то умова (5.82) виконується для довільної функції jj (x).

Для вирішення завдання про вигин пластинки рівняння -

можна уявити так

, (5.83)

де F- площа, обмежена контуром пластинки; jij- функції, що задаються так, щоб вони задовольняли кинематическим і силовим граничним умовам задачі.

Уявімо наближене рішення рівняння вигину пластинки (5.18) у вигляді ряду

. (5.84)

Якби рішення (5.84) було точним, то рівняння (5.83) виконувалося б тотожне для будь-якої системи координатних функцій jij. , Оскільки в цьому випадку DÑ2Ñ2 wn – q = 0. Зажадаємо, щоб рівняння DÑ2Ñ2 wn – qбуло ортогональним до сімейства функцій jij, і вимога це використовуємо для визначення коефіцієнтів Cij. . Підставляючи (5.84) в (5.83) отримаємо

. (5.85)

Після виконання деяких перетворень отримаємо наступну систему алгебраїчних рівнянь для визначення Cij

, (5.86)

причому hij = hji.

Методу Бубнова-Гальоркіна можна дати таке тлумачення. функція DÑ2Ñ2 wn – q = 0 є по суті справи рівнянням рівноваги і є проекцією зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на малий елемент пластинки в напрямку вертикальної осі z. функція прогинів wnє переміщення в напрямку тієї ж осі, а функції jijможна вважати можливими переміщеннями. Отже, рівняння (5.83) наближено виражає рівність нулю роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил на можливих переміщеннях jij. . Таким чином метод Бубнова-Гальоркіна по суті своїй є варіаційним.

Як приклад розглянемо прямокутну пластинку, защемлення по контуру і навантажену рівномірно розподіленим навантаженням. Розміри пластинки і розташування координатних осей такі ж, як на рис. 5.6.

Граничні умови

при x = 0, x= а: w = 0, ,

при y = 0, y = b: w = 0, .

Наближене вираження для функції прогинів виберемо у вигляді ряду (5.84) де функція jij

задовольняє граничним умовам; Cij- шукані коефіцієнти. Обмежившись одним членом ряду

отримаємо наступне рівняння

після інтегрування

Звідки обчислимо коефіцієнт З 11

який повністю відповідає коефіцієнту З 11., отриманого методом

В. Рітца -.

У першому наближенні функція прогинів така

Максимальний прогин в центрі квадратної пластинки розміром а ´ а

5.9. Застосування методу кінцевих різниць

Розглянемо застосування методу скінченних різниць для прямокутних пластинок зі складними контурними умовами. Різницевий оператор - аналог диференціального рівняння вигнутої поверхні пластинки (5.18), для квадратної сітки, при D x = D y = D приймає вид (3.54)

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

Мал. 5.14

З урахуванням наявності трьох осей симетрії навантаження і деформацій пластинки, можна обмежитися розглядом її восьмушки і визначати величини прогинів тільки в вузлах 1 ... 10 (рис. 5.14, (б)). На рис. 5.14, (б) представлені сітка і нумерація вузлів (D = а/4).

Оскільки краю пластинки затиснені, то записавши контурні умови (5.25), (5.26) в кінцевих різницях

Нагадаємо, що в дійсному аналізі тригонометричний ряд - це ряд по косинусам і синусів кратних дуг, тобто ряд виду

Трішки історії. Початковий період теорії таких рядів відносять до середини 18-го століття в зв'язку з завданням про коливанні струни, коли шукана функція шукалася у вигляді суми ряду (14.1). Питання про можливість такого уявлення викликав у математиків гострі суперечки, що тривали кілька десятиліть. Спори ставилися до змісту поняття функції. У той час функції зазвичай зв'язувалися з їх аналітичним завданням, а тут з'явилася необхідність представити поруч (14.1) функцію, графіком якої є досить довільна крива. Але значення цих суперечок більше. Фактично в них виникли питання, пов'язані з багатьма принципово важливими ідеями математичного аналізу.

І в подальшому, як і в цей початковий період, теорія тригонометричних рядів служила джерелом нових ідей. Саме в зв'язку з ними, наприклад, виникли теорія множин і теорія функцій дійсної змінної.

У цій заключній главі розглянемо матеріал, в черговий раз зв'язує дійсний і комплексний аналіз, але мало відбитий в навчальних посібниках з ТФКЗ. В курсі аналізу виходили з наперед заданої функції і розкладали її в тригонометричний ряд Фур'є. Тут розглядається зворотна задача: по заданому тригонометричного ряду встановити його збіжність і суму. Для цього Ейлер і Лагранж з успіхом застосовували аналітичні функції. Мабуть, Ейлер вперше (+1744) отримав рівності

Нижче ми пройдемося по слідах Ейлера, обмежуючись лише окремими випадками рядів (14.1), а саме, тригонометричними рядами

Зауваження.Буде істотно використовуватися наступний факт: якщо послідовність позитивних коефіцієнтів а пмонотонно прямує до нуля, то зазначені ряди сходяться рівномірно на будь-якому замкнутому проміжку, нс містить точок виду 2лк (до gZ).Зокрема, на інтервалі (0,2 л -) буде поточкова збіжність. Дивіться про це в роботі, стор. 429-430.

Ідея Ейлера підсумовування рядів (14.4), (14.5) полягає в тому, що за допомогою підстановки z = е апереходять до степеневим ряду

Якщо всередині одиничного кола його суму вдається знайти в явному вигляді, то виділенням з неї дійсної і уявної частин завдання зазвичай і вирішується. Підкреслимо, що, застосовуючи метод Ейлера, слід перевіряти відповідність рядів (14.4), (14.5).

Розглянемо деякі приклади. У багатьох випадках виявиться корисним геометричний ряд

а також ряди, що виходять з нього почленно диференціюванням або інтеграцією. наприклад,

Приклад 14.1.Знайти суму ряду

Рішення.Введемо аналогічний ряд з косинусами

Обидва ряду сходяться всюди, тому що мажоріруются геометричним рядом 1 + г + г 2+ .... Вважаючи z = е "х, отримаємо

Тут дріб наводиться до виду

звідки отримуємо відповідь на питання завдання:

Попутно ми встановили рівність (14.2): Приклад 14.2.підсумувати ряди

Рішення.Згідно з вищенаведеним зауваженням обидва ряди на зазначеному інтервалі сходяться і служать рядами Фур'є для визначених ними функцій f (x) 9 g (x).Що це за функції? Для відповіді на питання відповідно до методу Ейлера складемо ряд (14.6) з коефіцієнтами а п= -. Соглас-

але рівності (14.7) отримаємо

Опускаючи подробиці (читачеві їх слід відтворити), вкажемо, що вираз під знаком логарифма можна представити у вигляді

Модуль цього виразу дорівнює -, а аргумент (точніше, головне його зна

2sin -

чення) дорівнює Тому In ^ = -Ln (2sin Отже,

Приклад 14.3.при -л підсумувати ряди

Рішення.Обидва ряду сходяться всюди, так як мажоріруются сходящимся

поруч із загальним членом -! . Ряд (14.6)

п (п +1)

безпосередньо

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) п /1 + 1

нс дасть відомої суми. На основі представимо його у вигляді

рівності

Тут вираз в круглих дужках одно ln (l + z), а вираз в квадратних дужках - це ^ ^ + ** ^ -. отже,

= (1 + -) ln (1 + z). тепер

треба підставити сюди z = e LXі виконати дії, аналогічні проведеним в попередньому прикладі. Опускаючи деталі, зазначимо, що

Залишилося розкрити дужки і записати відповідь. Надаємо виконати це читачеві.

Завдання до глави 14

Обчислити суми наступних рядів.

1.3.1. a) z = 0 і z-- 2;
б) z = l і z = -1;
в) z = я і z = -я.
1.3.2. а) 1; 6) 0; в) оо.
2.1.1. Дуга параболи, г = у 2, пробігає від точки (1; 1) до точки (1; - 1) і назад.
2.1.2. Відрізок з початком а,кінцем Ь.
2.1.3. Жорданія спрямляются шлях на рис. 19.

2.1.4. дуга параболи у = х 2з початком (-1; 0), кінцем (1; 1).
2.1.5. Окружність ДГ 2 + (У - 1) 2 = 4.
2.2.1. Напівплощина Rez>.
2.2.2. Відкрите коло З х "" ^) 2 + У 2
2.2.3. Середина параболи 2у = 1 - х 2.
2.2.4. Замкнуте коло (д: - 2) 2 + у 2
2.2.5. зовнішність параболи 2х = - у 2.

3.1.а) .Якщо w = u + iv,то і=-Г--v = - ^ - ^. Звідси

л: 2 + (1-.р) 2 .т 2 + (1-д :) 2

З цього кола слід виключити початок координат, так як (м, v) 9 * (0; 0) V * е R, ton і= Lim v = 0.

x-yx>.v-> oo

б). виключіть x, yз рівності x + y = l, і = x 2 - у, V = 2 xy.Відповідь: парабола 2v = l-й 2.
3.2. Пряма л: = я (л ^ О) переходить в окружність
(W--) 2 + v 2 = (-) 2 з виколоти точкою (г /, v) = (0; 0). Застосуйте це з
2а 2 а

а = 1, а = 2.

3.4. У випадках а), б) використовуйте «ознака неіснування межі». У разі в) межа існує і дорівнює 2.
3.5. Не є. Розгляньте межі функції по двом послідовностям з загальними членами відповідно

z "= -! + -> z, = - l -

4.1. а) ніде нс дифференцируемая; б) диференційована всюди.
4.2. а) має похідну в усіх точках прямої у = х,в кожній з

них w = 2х; голоморфної ніде не є;

б) голоморфна в С (0), і / = - j.
4.3. Голоморфна в С, W= 3z 2.
4.4. З рівності /; (Z) = - + i- / / (z) = 0 слід, що w, v НЕ

St St

залежать від змінної "т. З умов Коші-Рімана випливає незалежність цих функцій і від у.

4.5. Розглянемо, наприклад, випадок Re f (z) = і (х, у) = const. З

допомогою умов Коші-Рімана вивести звідси, що Im / (z) = v (x 9 y) = const.

5.1. а) так як J= - = - = - * 0 (z * - /) і за умовою задачі
(L- / z) 2 (z + /) 2

аргумент похідної дорівнює нулю, то її уявна частина нульова, а дійсна частина позитивна. Звідси вивести відповідь: пряма у = -х-1 (Х * 0).

б) коло z + i = j2.

5.3. Перевірте, що функція не приймає нульового значення і її похідна всюди існує і дорівнює даної функції.
6.1. З визначення тангенса як відносини синуса до косинусу доведіть, що tg (z + n ^ -tgzпри допустимих значеннях аргументу. нехай Т-який інший період: tg (z + T) = tgz.Звідси і з попереднього рівності вивести, що sin (/ r- Т)= 0, звідки випливає, що Ткратно до .
6.2. Використовуйте рівності (6.6).
6.3. Перша формула не вірна, так як не завжди arg (zH,) = argz + argvv (беріть, наприклад, z = -1, w = -1). Друга формула також не вірна. Розгляньте, наприклад, випадок z = 2.
6.4. з рівності а а = е 01 "0виведіть, що тут права частина має вигляд | я | « , Е са (а ^ а +2 як)? кщо П р І деяких різних цілих до 19 до 2

вираз в круглих дужках прийняло одне і те ж значення, то мали б

що суперечить ірраціональності а .

6.5. z = 2? / r - / "ln (8 ± V63).
7.1. а) кут - я w;
б) кругової сектор | w 2, | arg vr |
7.2. В обох випадках коло радіуса 1 з цін тром на початку координат.

7.3. Будемо рухатися по межі півкола так, щоб його нутро залишалася зліва. використовуємо позначення z = x + yi, w = u + vi.На ділянці

у= 0, -1 х 1 маємо і =--е [-1,1] »v = 0. Розглянемо другий ділянку кордону - півколо z =e u, T g. На цій ділянці вираз

перетвориться до виду w = u =- / * -. На проміжку. Згідно (8.6) шуканий інтеграл дорівнює

б). Рівняння нижньої півкола має вигляд z (t) = e ", t е [л, 2а).За формулою (8.8) інтеграл дорівнює

8.2. а). Шуканий інтеграл розбийте на суму інтегралів по відрізку Про Аі по відрізку АВ. Їх рівняння відповідно z= / + //, / с і

z = t + i, te. Відповідь: - + - i.

б). Рівняння кривої інтегрування можна записати у вигляді z = е ", t € . Тоді Vz має два різних значення, а саме,

.1 .t + 2 / r

е 2, е 2 .З умови задачі випливає, що мова йде про головному значенні кореня: Vz, тобто про перший із зазначених. Тоді інтеграл дорівнює

8.3. У виконанні завдання креслення навмисне не наводиться, але читачеві його слід виконати. Використовується рівняння прямолінійного відрізка, що з'єднує дві задані точки я, /> е З (А -початок, Ь -кінець): z = (l - /) fl + /?, / €. Розіб'ємо шуканий інтеграл на чотири:

I = I AB + I BC + I CD +1 DA. на відрізку АВмаємо z - (1 -1) ? 1 +1 /, Тому інтеграл але цьому відрізку, згідно (8.8), дорівнює

Поступаючи аналогічним чином, знайдемо

9.1. а) 2л7; б) 0.
9.2. зробити підстановку z = z 0 + re 11, 0 t 2 / г.
9.3.Функція f (z) =J голоморфна в деякій однозв'язної z - a

області D, що містить Г і нс містить а. За інтегральною теоремою, застосованої до /), /], шуканий інтеграл дорівнює нулю.

9.4. a) 2 / n (cosl2 + / sinl2); б) 34л- /.
9.5. У разі а) особливі точки ± 2 / лежать всередині даної окружності, тому інтеграл дорівнює

б). Особливі точки ± 3 / також лежать всередині кола. Рішення аналогічне. Відповідь: 0.
10.1. Уявити функцію у вигляді / (z) = ----- скористатися
3 1 + -

геометричним поруч 1 + Q + q 2 (||

1 -год
10.2. Диференціювати почленно геометричний ряд.
10.3. а) | z+ / 1t = z 2. відповідь: z.
11.1. Використовуйте статечні розкладання експоненти і синуса. У разі а) порядок дорівнює 3, у випадку б) він дорівнює 2.
11.2. З точністю до очевидною заміни змінної рівняння можна

представити у вигляді / (z) = / (- ^ z). Не применшуючи спільності, можна вважати, що

радіус збіжності ряду Тейлора функції з центром в точці 0 більше одиниці. маємо:

Значення функції однакові на дискретній множині з граничною точкою, що належить колу збіжності. По теоремі єдиності / (z) = const.

11.3. Припустимо, що шукана аналітична функція / (z) існує. Порівняємо її значення з функцією (Z) = z 2на безлічі Е,

що складається з точок z n = - (П = 2,3, ...). Їх значення однакові, а так як Е

має граничну точку, що належить даному колі, то по теоремі єдиності / (z) = z 2 для всіх аргументів даного кола. Але це суперечить умові / (1) = 0. Відповідь: нс існує.

11.4. Так, / (*) = -L
2 + 1
11.5. Протиріччя немає, так як гранична точка одиничних значень не лежить в області визначення функції.
- 1 1
12.1. a) 0; б) 2
12.2. а). Уявіть функцію у вигляді і розкрийте дужки.
- б). Поміняйте складові місцями, використовуйте стандартні розкладання косинуса і синуса.
- 12.3.
- 12.4. а) точки 0, ± 1 є простими полюсами;
- б) z = 0 - переборна точка;
- в) z = 0 - істотно особлива точка.
- 13.1. а). Точки а = 1, а = 2 є полюсами підінтегральної функції. Відрахування щодо першого (простого) полюса знаходиться згідно (13.2), він дорівнює 1. Відрахування щодо другого полюса знаходиться за формулою (13.3) з порядком кратності і = 2 і дорівнює -1. Сума відрахувань дорівнює нулю, так що інтеграл дорівнює нулю по основній теоремі про відрахування.
- б). Усередині прямокутника з зазначеними вершинами лежать три
простих полюса 1, -1, /. Сума відрахувань у них дорівнює -, а інтеграл дорівнює

в). Серед полюсів 2 Trki (kGZ)підінтегральної функції лише два лежать всередині даної окружності. Це 0 і 2 яобидва вони прості, відрахування в них рівні за 1. Відповідь: 4я7.

помножити його на 2 / г /. Опускаючи деталі, зазначимо відповідь: / = -i.

13.2. а). Покладемо e "= z, тоді e "idt =dz , dt= - . Ho

e "- e ~" z-z ~ x

sin / = - = -, інтефал зведеться до виду

Тут знаменник розкладається на множники (z-z,) (z-z 2), де z, = 3 - 2 V2 / лежить всередині кола у , A z, = 3 + 2V2 / лежить вис се. Залишилося знайти відрахування щодо простого полюса z, за формулою (13.2) і

б). Вважаючи, як і вище, е "= z , Зведемо інтефал до виду

Подинтефальная функція має три простих полюса (яких?). Надаючи читачеві обчислення відрахувань у них, вкажемо відповідь: I = .
- в). Подинтефальная функція дорівнює 2 (1 - = -), шуканий інтеграл
- 1 + cos t
дорівнює 2 (^ - 1 ч-dt). Що стоїть в дужках інтеграл позначимо через /.

Застосуванням рівності cos "/ = - (1 + cos2f) отримаємо, що / = [- cit .

За аналогією з випадками а), б) зробити підстановку e 2, t = Z, звести інтеграл до виду

де крива інтегрування - та ж одиничне коло. Далі міркування ті ж, що і в разі а). Відповідь: вихідний, шуканий інтеграл дорівнює / г (2-л / 2).

13.3. а). Розглянемо допоміжний комплексний інтеграл

/ (/?) = F f (z) dz,де f (z) = -р-, Г (Я) - контур, складений з

півкола y (R): | z |= R> 1, Imz> 0 і се діаметра (зробіть креслення). Розіб'ємо цей інтеграл на два - по про трезку [- /?, /?] І по y (R).

к.'я.

Усередині контуру лежать лише прості полюси z 0 = е 4, Z, = е 4 (рис. 186). Знайдемо щодо їх відрахування:

Залишається перевірити, що інтеграл по y (R)прямує до нуля із зростанням R. З нерівності | д + Л |> || я || /> || і з оцінки інтеграла при z е y (R)випливає, що