Як визначається прискорення крапки. Швидкість та прискорення точки. Основні формули кінематики матеріальної точки

І навіщо вона потрібна? Ми вже знаємо, що таке система відліку, відносність руху та матеріальна точка. Що ж, настав час рухатися далі! Тут ми розглянемо основні поняття кінематики, зберемо разом найкорисніші формули з основ кінематики та наведемо практичний приклад розв'язання задачі.

Вирішимо таке завдання: точка рухається по колу радіусом 4 метри. Закон її руху виражається рівнянням S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. У який час нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с^2? Знайти швидкість, тангенціальне та повне прискорення точки для цього моменту часу.

Рішення: ми знаємо, що для того, щоб знайти швидкість, потрібно взяти першу похідну за часом від закону руху, а нормальне прискорення дорівнює приватному квадрату швидкості і радіусу кола, по якому точка рухається. Озброївшись цими знаннями, знайдемо шукані величини.

Потрібна допомога у вирішенні завдань? Професійний студентський сервіс готовий надати її.

1. Способи завдання руху точки у заданій системі відліку

Основними завданнями кінематики точки є:

1. Опис способів завдання руху точки.

2. Визначення кінематичних характеристик руху точки (швидкості, прискорення) згідно із заданим законом руху.

Механічне рух − зміна положення одного тіла щодо іншого (тіла відліку), з яким пов'язана система координат, звана системою відліку .

Геометричне місце послідовних положень рухомої точки в системі відліку, що розглядається, називається траєкторіяточки.

Задати рух − це дати спосіб, за допомогою якого можна визначити положення точки у будь-який момент часу по відношенню до обраної системи відліку. До основних способів завдання руху точки відносяться:

векторний, координатний та природний .

1.Векторний спосіб завдання руху (Рис. 1).

Положення точки визначається радіус-вектором, проведеним із нерухомої точки, пов'язаної з тілом відліку: − векторне рівняння руху точки.

2.Координатний спосіб завдання руху (Рис. 2).

В цьому випадку задаються координати точки як функції часу:

- рівняння руху точки у координатній формі.

Це і параметричні рівняння траєкторії точки, що рухається, в яких роль параметра грає час . Щоб записати її рівняння у явній формі, треба виключити з них. У разі просторової траєкторії, виключивши , отримаємо:

У разі плоскої траєкторії

виключивши , отримаємо:

Або.

3. Природний спосіб завдання руху (Рис. 3).

У цьому випадку задаються:

1) траєкторія точки,

2) початок відліку на траєкторії,

3) позитивний напрямок відліку,

4) закон зміни дугової координати: .

Цим способом зручно користуватися, коли траєкторія точки заздалегідь відома.

2. Швидкість та прискорення точки

Розглянемо переміщення точки за короткий проміжок часу(Рис. 4):

Тоді – середня швидкість точки за проміжок часу.

Швидкість точки в даний моментчасу знаходиться як межа середньої швидкості при :

Швидкість точки - це кінематичний захід її руху, рівний похідною за часом від радіус-вектора цієї точки у системі відліку.

Вектор швидкості спрямований по траєкторії до точки в бік руху.

Середнє прискорення характеризує зміну вектора швидкості за короткий проміжок часу(Рис. 5).

Прискорення точки в даний момент часу знаходиться як межа середнього прискорення при :

Прискорення точки - це міра зміни її швидкості, що дорівнює похідній за часом від швидкості цієї точки або другої похідної від радіус-вектора точки за часом .

Прискорення точки характеризує зміну вектора швидкості за величиною та напрямом. Вектор прискорення спрямований у бік увігнутості траєкторії.

3. Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху

Зв'язок векторного способу завдання руху та координатного дається співвідношенням

(Рис. 6).

З визначення швидкості:

Проекції швидкості на осі координат дорівнюють похідним відповідних координат за часом

, , . .

Модуль та напрямок швидкості визначаються виразами:

Крапкою зверху тут і надалі позначається диференціювання за часом

З визначення прискорення:

Проекції прискорення на осі координат дорівнюють другим похідним відповідних координат за часом:

, , .

Модуль та напрямок прискорення визначаються виразами:

, , .

4 Швидкість та прискорення точки при природному способі завдання руху

4.1 Природні осі.

Визначення швидкості та прискорення точки при природному способі завдання руху

Природні осі (дотична, головна нормаль, бінормаль) - це осі рухомий прямокутної системи координат з початком у точці, що рухається. Їхнє становище визначається траєкторією руху. Дотична (з одиничним вектором) спрямована по дотичній у позитивному напрямку відліку дугової координати і знаходиться як граничне положення сіючої, що проходить через цю точку (рис.9). Через дотичну проходить площину, що стикається (рис. 10), яка знаходиться як граничне положення площини. p при прагненні точки M1 до точки M. Нормальна площина перпендикулярна дотичній. Лінія перетину нормальної площин, що стикається, − головна нормаль. Поодинокий вектор головної нормалі спрямований у бік увігнутості траєкторії. Бінормаль (з одиничним вектором) спрямована перпендикулярно дотичної та головної нормалі так, що орти і утворюють праву трійку векторів. Координатні площини введеної рухомої системи координат (дотикається, нормальна і спрямовуюча) утворюють природний тригранник, який переміщається разом з точкою, що рухається, як тверде тіло. Його рух у просторі визначається траєкторією та законом зміни дугової координати.

З визначення швидкості точки

де , - Поодинокий вектор дотичної.

Тоді

, .

Алгебраїчна швидкість − проекція вектора швидкості на дотичну, що дорівнює похідній від дугової координати за часом. Якщо похідна позитивна, то точка рухається у позитивному напрямку відліку дугової координати.

З визначення прискорення

− змінний за напрямом вектор та

Похідна визначається лише видом траєкторії в околиці даної точки, при цьому, вводячи в розгляд кут повороту дотичної, маємо , де одиничний вектор головної нормалі, кривизна траєкторії, радіус кривизни траєкторії в даній точці.

Розглянуто приклад розв'язання задачі зі складним рухом точки. Крапка рухається по прямій вздовж пластини. Пластина обертається навколо нерухомої осі. Визначається абсолютна швидкість та абсолютне прискорення точки.

Зміст

Умова задачі

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).

По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Задано закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.

Вказівки. Це завдання – на складний рух точки. Для її вирішення необхідно скористатися теоремами про складання швидкостей та складання прискорень (теорема Коріоліса). Перш ніж виконувати всі розрахунки, слід за умовами завдання визначити, де знаходиться точка M на пластині в момент часу t 1 = 1 с, і зобразити точку саме у цьому становищі (а чи не в довільному, показаному малюнку завдання).

Рішення задачі

Дано: b = 20 см, φ = 6 t 2 - 3 t 3, S = | AM | = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 c.

Знайти: v абс, a абс

Визначення положення точки

Визначаємо положення точки на момент часу t = t 1 = 1 c.
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 · 1 3) - 40 = -80 см.
Оскільки s< 0 то точка M ближче до точки B, ніж до D.
|AM| = |-80 | = 80 див.
Робимо малюнок.

Відповідно до теореми про складання швидкостей абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.

Визначення відносної швидкості точки

Визначаємо відносну швидкість. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію швидкості на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с.
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносної швидкості
v від = 200 см/с.

Визначення переносної швидкості точки

Визначаємо переносну швидкість. Для цього вважаємо, що точка M жорстко пов'язана із пластиною, а пластина здійснює заданий рух. Тобто пластина обертається навколо осі OO1. Диференціюючи φ за часом t знаходимо кутову швидкість обертання пластини:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
.
Оскільки вектор кутової швидкості спрямований у бік позитивного кута повороту φ , тобто від точки O до точки O 1 . Модуль кутової швидкості:
ω = 3 з -1.
Зображаємо вектор кутової швидкості пластини малюнку.

З точки M опустимо перпендикуляр HM на вісь OO1.
При переносному русі точка M рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H .
|HM| = | HK | + | KM | = 3 b + | AM | sin 30° = 60 + 80 · 0,5 = 100 см;
Переносна швидкість:
v пер = ω|HM| = 3 · 100 = 300 см / с.

Вектор спрямований по відношенню до кола у бік обертання.

Визначення абсолютної швидкості точки

Визначаємо абсолютну швидкість. Абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.
Проводимо осі нерухомої системи координат Oxyz. Вісь z направимо вздовж осі обертання пластини. Нехай в даний момент часу вісь x перпендикулярна пластині, вісь y лежить в площині пластини. Тоді вектор відносної швидкості лежить у площині yz. Вектор переносної швидкості спрямований протилежно до осі x . Оскільки вектор перпендикулярний вектору, то за теоремою Піфагора, модуль абсолютної швидкості:
.

Визначення абсолютного прискорення точки

Відповідно до теореми про складання прискорень (теорема Коріоліса), абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі відносного, переносного та коріолісового прискорень:
,
де
- коріолісове прискорення.

Визначення відносного прискорення

Визначаємо відносне прискорення. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Двічі диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію прискорення на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с 2 .
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносного прискорення
a від = 480 см/с 2.
Зображуємо вектор на малюнку.

Визначення переносного прискорення

Визначаємо переносне прискорення. При переносному русі точка M жорстко пов'язані з пластиною, тобто рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H . Розкладемо переносне прискорення на дотичне до кола та нормальне прискорення:
.
Двічі диференціюючи φ за часом t знаходимо проекцію кутового прискорення пластини на вісь OO 1 :
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
з -2.
Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний позитивного кута повороту φ , тобто від точки O 1 до точки O. Модуль кутового прискорення:
ε = 6 з -2.
Зображаємо вектор кутового прискорення пластини малюнку.

Переносне дотичне прискорення:
a τ пер = ε | HM | = 6 · 100 = 600 см / с 2.
Вектор спрямований по відношенню до кола. Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний до позитивного кута повороту φ , то спрямований у бік, протилежний позитивному напрямку повороту φ . Тобто спрямований у бік осі x.

Переносне нормальне прискорення:
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 · 100 = 900 см/с 2.
Вектор спрямований до центру кола. Тобто у бік, протилежний осі y .

Визначення коріолісового прискорення

Коріолісове (поворотне) прискорення:
.
Вектор кутової швидкості спрямований уздовж осі z. Вектор відносної швидкості спрямований вздовж прямої | DB | . Кут між цими векторами дорівнює 150 °. За якістю векторного твору,
.
Напрямок вектора визначається за правилом свердла. Якщо ручку свердла повернути з положення в положення , то гвинт свердла переміститься в напрямку, протилежному осі x .

Визначення абсолютного прискорення

Абсолютне прискорення:
.
Спроектуємо це векторне рівняння на осі xyz системи координат.

;

;

.
Модуль абсолютного прискорення:

.

Абсолютна швидкість;
абсолютне прискорення.

Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.

Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, лише зі знаком мінус (як пам'ятаєте, швидкість – це векторна величина).

> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

Мал. 1.8. Середнє прискорення.У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійно точки, що рухається, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто

V 2 > v 1

а напрям вектора прискорення збігається з вектором швидкості

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто

V 2< v 1

той напрямок вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості Інакше кажучи, в даному випадку відбувається уповільнення рухупри цьому прискорення буде негативним (а< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Мал. 1.9. Миттєве прискорення.

Під час руху криволінійної траєкторії змінюється як модуль швидкості, а й її напрям. У цьому випадку вектор прискорення являють собою дві складові (див. наступний розділ).

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (рис. 1.10) збігається з напрямком лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямом і позначається буквою Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Повне прискорення

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень за і визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

Швидкістю точки називається вектор, що визначає в кожний момент часу швидкість і напрямок руху точки.

Швидкість рівномірного руху визначається ставленням шляху, пройденого крапкою за деякий проміжок часу, до величини цього проміжку часу.

Швидкість; S-шлях; t-час.

Вимірюється швидкість одиницях довжини, поділених на одиницю часу: м/с; см/с; км/год і т.д.

У разі прямолінійного руху вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії у бік її руху.

Якщо точка за рівні проміжки часу проходить нерівні шляхи, цей рух називається нерівномірним. Швидкість є величиною змінної та є функцією часу.

Середньою за цей проміжок часу швидкістю точки називається швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, при якому точка за цей проміжок часу отримала б те саме переміщення, як і в її русі.

Розглянемо точку М, яка переміщається криволінійною траєкторією, заданою законом

За проміжок часу?t точка М переміститься в положення М 1 по дузі ММ 1 .Якщо проміжок часу?t малий, то дугу ММ 1 можна замінити хордою і в першому наближенні знайти середню швидкість руху точки

Ця швидкість спрямована по хорді від точки М до точки М1. Справжню швидкість знайдемо шляхом переходу до межі при t> 0

Коли?t> 0, напрямок хорди в межі збігається з напрямом дотичної до траєкторії в точці М.

Таким чином, величина швидкості точки визначається як межа відношення збільшення шляху до відповідного проміжку часу при прагненні останнього до нуля. Напрямок швидкості збігається з дотичної до траєкторії у цій точці.

Прискорення точки

Зазначимо, що у випадку, під час руху криволінійної траєкторії швидкість точки змінюється і за напрямом і за величиною. Зміна швидкості за одиницю часу визначається прискоренням. Іншими словами, прискоренням точки називається величина, що характеризує швидкість зміни швидкості у часі. Якщо за інтервал часу?t швидкість змінюється на величину, то середнє прискорення

Справжнім прискоренням точки на даний момент часу t називається величина, до якої прагне середнє прискорення при t > 0, тобто

При відрізку часу вектор прискорення, що прагне до нуля, буде змінюватися і за величиною і за напрямом, прагнучи до своєї межі.

Розмір прискорення

Прискорення може виражатися м/с 2 ; см/с 2 і т.д.

У випадку, коли рух точки задано природним способом, вектор прискорення зазвичай розкладають на дві складові, спрямовані по дотичній і нормалі до траєкторії точки.

Тоді прискорення точки в момент t можна уявити так

Позначимо складові межі через в.

Напрямок вектора не залежить від величини проміжку часу.

Це прискорення завжди збігається з напрямом швидкості, тобто, спрямоване по дотичній траєкторії руху точки і тому називається дотичним або тангенціальним прискоренням.

Друга складова прискорення точки спрямована перпендикулярно до дотичної до траєкторії в даній точці у бік увігнутості кривої і впливає на зміну напрямку вектора швидкості. Ця складова прискорення зветься нормального прискорення.

Оскільки чисельне значення вектора дорівнює збільшенню швидкості точки за проміжок, що розглядається?t часу, то чисельне значення дотичного прискорення

Чисельне значення щодо прискорення точки дорівнює похідної за часом від чисельної величини швидкості. Чисельне значення нормального прискорення точки дорівнює квадрату швидкості точки, поділеному на радіус кривизни траєкторії у відповідній точці кривої

Повне прискорення при нерівномірному криволінійному русі точки складається геометрично з дотичного та нормального прискорень.