Якою фігурою є осьовий переріз циліндра. Геометричні тіла. Циліндр. Геометричні характеристики скошеного циліндра

Циліндром(точніше круговим циліндром) називається тіло, яке складається з двох кіл, що лежать у паралельних площинах і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл, – утворюючими.

Циліндр має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави циліндра поєднуються паралельним переносом:

1. Основи циліндра рівні.

2. Утворювальні циліндри паралельні і рівні.

Циліндр називається прямимякщо його утворюють перпендикулярні площин підстав. Надалі розглядатимемо переважно прямі циліндри, тому, якщо не обумовлено зворотне, під циліндром розумітимемо прямий циліндр.

Радіусомциліндра називається радіус його основи. Висотоюциліндра називається відстань між площинами його основ. Для прямого циліндра висота дорівнює утворюючим. Ос'юциліндра називається пряма, що проходить через центри основ.

Циліндр є тілом обертання, оскільки може бути отриманий обертанням прямокутника навколо осі.

Завдання

18.1Висота циліндра 6, радіус основи 5. Кінці відрізка , рівного 10, лежать на колах обох основ. Знайти найкоротшу відстань від цього відрізка до осі циліндра.

18.2У рівносторонньому циліндрі (діаметр дорівнює висоті циліндра) точка кола верхньої основи з'єднана з точкою кола нижньої основи. Кут між радіусами, проведеним у ці точки, дорівнює 60 о. Знайти кут між проведеним відрізком та віссю циліндра.

Конус

Визначення конуса

Конусом(точніше круговим конусом) називається тіло, що складається з кола – основи конуса, точки, що не лежать у площині основи, – вершини конусата всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи. Відрізки, що з'єднують вершини конуса з точками кола основи, називаються утворюючими конуса.

Вистій конусаназивається перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи. Якщо основа висоти збігається з центром кола основи, конус називається прямим. Далі під конусом зазвичай розумітимемо прямий конус.

Ос'юПрямого кругового конуса називається пряма, що містить його висоту. Такий конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів.

Усічений конус

Площина, паралельна до основи конуса, відсікає від нього подібний конус. Остання частина називається усіченим конусом.

Завдання

19.1Дві утворюють конуса, що спираються на кінці діаметра основи, становлять між собою кут 60 про. Радіус конуса дорівнює 3. Знайти утворює конуса та його висоту.

19.2Через середину висоти конуса проведена пряма, паралельна твірній . Знайти довжину відрізка прямої, укладеної усередині конуса.

19.3Утворююча конуса дорівнює 13, висота 12. Конус перетнутий прямою, паралельною основи; відстань від неї до основи дорівнює 6, а до висоти - 2. Знайти відрізок прямий, укладений усередині конуса.

19.4 Радіуси підстав усіченого конуса дорівнюють 3 і 6, висота – 4. Знайти утворюючу.

Визначення кулі

Кулькоюназивається тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більше від певної точки, званої центром кулі. Ця відстаньназивається радіусом кулі.

Кордон кулі називається кульовою поверхнеюабо сферою. Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, віддалені від центру кулі на відстань, що дорівнює радіусу.

Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром кулі.

Куля, як і циліндр і конус, є тілом обертання. Він виходить при обертанні півкола навколо її діаметра.

Завдання

20.1На поверхні кулі дано три точки. Прямолінійні відстані між ними 6, 8 та 10. Радіус кулі 13. Знайти відстань від центру кулі до площини, що проходить через ці три точки.

20.2 Діаметр кулі 25. На його поверхні дано точку та коло, всі точки якої віддалені (по прямій) від на 15. Знайти радіус цього кола.

20.3Радіус кулі дорівнює 7. На його поверхні дано два кола, що мають загальну хорду завдовжки 2. Знайти радіуси кіл, знаючи, що їхні площини перпендикулярні.

Тілом обертанняназивається тіло, утворене в результаті обертання будь-якої лінії навколо прямої.

ЦИЛІНДР

Циліндром (круговим циліндром) називається тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називається основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.

Так як паралельне перенесення є рух, то підстави циліндра рівні. Так як при паралельному перенесенні площина переходить у паралельну площину, то у циліндра основи лежать у паралельних площинах. Так як при паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним прямим на одну і ту ж відстань, то у циліндра утворюють паралельні та рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні.

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основ. Ми розглядатимемо лише прямий круговий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром.

Циліндр може бути отриманий обертанням прямокутника навколо однієї з сторін. На малюнку зображено циліндр, отриманий обертанням прямокутника ABCD навколо сторони АВ. При цьому бічна поверхня циліндра утворюється обертанням сторони CD, а основи обертанням сторін ВС і AD.

Переріз циліндра

1) Якщо січна площина проходить через вісь циліндра, то перетин являє собою прямокутник (див. рис.), дві сторони якого - утворюють, а дві інші - діаметри основ циліндра. Такий переріз називається осьовим.

Циліндром (прямим круговим циліндром)називається тіло, що складається з двох кіл (підстав циліндра), що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні при паралельному перенесенні точки цих кіл. Відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл підстав, називаються утворюючими циліндра.

Ось інше визначення:

Циліндр- тіло, яке обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною та двома паралельними площинами, що перетинають утворюють дану поверхню.

Циліндрична поверхня- Поверхня, яка утворюється рухом прямої лінії вздовж деякої кривої. Пряму називають утворюючої циліндричної поверхні, а криву лінію - напрямної циліндричної поверхні.

Бічна поверхня циліндра- Частина циліндричної поверхні, яка обмежена паралельними площинами.

Основи циліндра- частини паралельних площин, що відсікаються бічною поверхнею циліндра.

Мал.1 міні

Циліндр називається прямим(Див. Рис.1), якщо його утворюють перпендикулярні площинам основ. В іншому випадку циліндр називається похилим.

Круговий циліндр- Циліндр, основи якого є колами.

Прямий круговий циліндр (просто циліндр)- Це тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї з його сторін. Див. Рис.1.

Радіус циліндра- Радіус його заснування.

Утворююча циліндра- Утворює циліндричної поверхні.

Висотою циліндраназивається відстань між площинами основ. Оссю циліндраназивається пряма, що проходить через центри основ. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Вісь циліндра паралельна його утворює і є віссю симетрії циліндра.

Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра. Див. Рис.2.

Розгортка бічної поверхні циліндра- прямокутник зі сторонами, рівними висоті циліндра та довжині кола основи.

Площа бічної поверхні циліндра- Площа розгортки бічної поверхні. $$S_(сторона)=2\pi\cdot rh$$ , де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.

Площа повної поверхні циліндра- площа, яка дорівнює сумі площ двох основ циліндра та його бічної поверхні, тобто. виражається формулою: $ $ S_ (повний) = 2 \ pi \ cdot r ^ 2 + 2 \ pi \ cdot rh = 2 \ pi \ cdot r (r + h) $ $, де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.

Об'єм будь-якого циліндрадорівнює добутку площі основи на висоту: $$ V = S \ cdot h $ $ Об'єм круглого циліндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , де ( r- Радіус основи).

Призма є окремий вид циліндра (утворюючі паралельні бічним ребрам; напрямна - багатокутник, що лежить в основі). З іншого боку, довільний циліндр можна розглядати як призму, що виродилася («згладжена») з дуже великим числом дуже вузьких граней. Майже циліндр не відрізняється від такої призми. Усі властивості призми зберігаються й у циліндрі.

У мережі почнемо нову тему, а коли приїду проведемо залік та контрольну роботуна тему "Рух і вектор".

• Ми починаємо знайомство з новим класом геометричних тіл – тіла обертання. Перший представник цього класу, з яким ми знайомимося, – це циліндр.
• Чому циліндр називають тілом обертання?

Ц абондр, виходить у результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін.

• Циліндр складається з двох кіл і безлічі відрізків.
• Циліндр– це геометричне тіло, що складається з двох рівних кіл, розташованих у паралельних площинах та безлічі відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл.
• Визначення елементів циліндра:

Основи циліндра– рівні кола, розташовані у паралельних площинах

Висота циліндра- це відстань між площинами його основ.

Вісь циліндра- Це пряма, що проходить через центри основи циліндра (вісь циліндра є віссю обертання циліндра).

Осьовий переріз циліндра– переріз циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра (осьовий переріз циліндра є площиною симетрії циліндра). Усі осьові перерізи циліндра – рівні прямокутники

Утворююча циліндра- це відрізок що з'єднує точку кола верхньої основи з відповідною точкою кола нижньої основи. Усі утворюють паралельні осі обертання і мають однакову довжину, що дорівнює висоті циліндра.

Утворююча циліндра при обертанні навколо осі утворюєбічну (циліндричну) поверхню циліндра.

Радіус циліндра- Це радіус його заснування.

Прямий циліндр- Це циліндр, що утворюють якого перпендикулярні основи.

Рівновеликий циліндр- Циліндр, у якого висота дорівнює діаметру (показати рівновеликий циліндр: кнопкою зі значком руки перевести модель назад в інтерактивний режим і змінити значення висоти та радіусу у запропонованої моделі так, щоб ).

• Виведення формули площі бічної поверхні.

  Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник зі сторонамиHі C, де H- Висота циліндра, аC- Довжина кола основи. Отримаємо формули для обчислення площ бічнийSб і повною Sп поверхонь: Sб = H · C= 2π RH, Sп = Sб + 2 S= 2π R(R + H).

Закріплення

Завдання № 1. Обчислити площу бічної та повної поверхні циліндра, у якого радіус дорівнює 3 см, а висота 5 см (число пі та відповідь округлити до цілих).

2. Висота циліндра дорівнюєh, радіус основиR. Знайти площу перерізу площиною, проведеною паралельно осі циліндра на відстаніaвід неї.

Домашнє завдання: 522, 524, 526.

• Р.S/ кому цікаво попробуйте пройти за посиланням і подивитися електронний ресурс про циліндр для початку на сторінці встановіть у себе на ПК модуль ОМS і завантажте модуль. На таблиці, що вискочила, клікніть відтворити. А далі по порядку перегляньте всі сторінки.
• ДЯКУЮ ВСІМ.

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувались до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме в результаті їх діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми в повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути й інші постаті.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ та бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як об'єм циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у випадку з прямим циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.