Теореми про найбільшому і найменшому цілому числі. Впорядкованість безлічі натуральних чисел. Зразкові питання з математичного аналізу
Натуральне число - це число, яке використовується при рахунку предметів. Воно виникло з практичних потреб людини. Розвиток поняття натурального числа можна розділити на кілька етапів: 1. стародавні люди, щоб порівнювати безліч, встановлювали відповідності: наприклад, стільки ж, скільки пальці на руці. Недолік - порівнювані безлічі повинні були бути одночасно доступні для огляду. 2. Безліч - посередники, наприклад, камені, черепашки, палички. Поняття про число ще не складено. І числа прив'язані до конкретних предметів. 3. Поява числа (Позначення числа у вигляді цифр). Зародження арифметики. Арифметика як наука зародилася в країнах Стародавнього Сходу - Китай, Індія, Єгипет, подальший розвиток в Греції. Термін «натуральне число» вперше вжив римський вчений Боецій. Рахунок необхідний для визначення кількості безлічі. Розіб'ємо всі кількісні безлічі на класи еквівалентності, наприклад, в один клас екв. увійдуть безлічі вершин трикутників, сторін квадрата, безліч букв в слові світ. Якщо продовжити цей процес, то в силу того, що в відношенні еквівалентності - все рівносильне відношення. Кінцеві безлічі виявляться по класах. Т.ч. теоретико - множинний зміст кількісного натурального числа - є загальне властивість класу кінцевих рівнопотужних множин. Кожному класу відповідає своє кількісне число. Нуль ставиться відповідно порожньому безлічі.
Числа А і В називаються рівними, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами.
Такий спосіб застосовується в початкових класах.
Методика роботи над завданнями, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій.
Арифметичні задачі в курсі математики займають значне місце. Майже половина часу на уроках математики відводиться вирішенню завдань. Це пояснюється їх великий виховної та освітньої роллю, яку вони відіграють при навчанні дітей. Рішення арифметичних задач допомагає розкрити основний зміст арифметичних дій, конкретизувати їх, зв'язати з певною життєвою ситуацією. Завдання сприяють засвоєнню математичних понять, відносин, закономірностей. При вирішенні завдань у дітей розвивається довільна увага, спостережливість, логічне мислення, мова, кмітливість. Рішення задач сприяє розвитку таких процесів пізнавальної діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, узагальнення.
У процесі вирішення арифметичних задач учні вчаться, планувати і контролювати свою діяльність, опановувати прийомами, самоконтролю (перевірка завдання прикидка завдань і т.д.) у них виховується наполегливість, воля, розвивається інтерес до пошуку рішення задачі. Велика роль вирішення завдань в підготовці дітей до життя, до їх подальшої трудової діяльності. При вирішенні сюжетних завдань учні вчаться переводити відносини між предметами і величинами на «мову математики». В арифметичних задачах використовується числовий матеріал, що відображає успіхи країни в різних галузях народного господарства, культури, науки і т.д. Це сприяє розширенню кругозору учнів, збагаченню їх новими знаннями про навколишню дійсність. Умінням вирішувати арифметичні завдання учні опановують з великими труднощами.
Причини помилкових рішень задач дітьми криються в першу чергу в особливостях їхнього мислення. В процесі навчання рішенню завдань слід уникати натаскування в рішенні задач певного виду, треба вчити свідомому підходу до вирішення завдань, вчити орієнтуватися в певній життєвій ситуації, описаної в задачі, вчити усвідомленого виділення даних завдання забезпечення свідомого вибору дій. В процесі роботи над будь-якої арифметичної завданням можна виділити наступні етапи:
1. Робота над змістом завдання.
2. Пошук рішення задачі.
3. Рішення завдання.
4. Формулювання відповіді.
5. Перевірка виконання завдання.
6. Подальша робота над вирішеним завданням.
Велику увагу слід приділяти роботі над змістом задачі, тобто над осмисленням ситуації викладеної в задачі, встановленням залежності між даними і потрібним. Послідовність роботи над засвоєнням змісту завдання;
а) розбір незрозумілих слів або виразів;
б) читання тексту завдання вчителем та учнем;
в) запис умови задачі;
г) повторення завдання з питань.
Виразного читання тексту завдання слід вчити учнів. Потрібно пам'ятати, що дітей спеціально треба вчити виразного читання, вони не можуть самостійно правильно прочитати завдання, не можуть розставити логічні наголосиі т.д.
Поряд з конкретизацією змісту завдання за допомогою предметів, трафаретів і малюнків в практиці роботи вчителів в школах широкого поширення набули такі форми запису змісту завдання:
1. Скорочена форма запису, при якій з тексту завдання виписують числові дані і тільки ті слова і вирази, які необхідні для.поніманія логічного сенсу завдання.
2. Скорочено-структурна форма запису, при якій кожна логічна частина завдання записується з нового рядка.
3. Схематична форма запису.
4. Графічна форма запису.
Так як функція контролю у дітей ослаблена, то перевірка виконання завдання має не тільки освітнє, а й виховне значення. У молодших класах необхідно:
1. Перевірити словесно сформульовані завдання, виробляючи дію над предметами.
2. Перевіряти реальність відповіді.
3. Перевіряти відповідність відповіді умові і питання завдання. Перевірка рішення задачі іншим способам її рішення можливо з 4 класу.
Для контролю правильності рішення задачі використовується і деякі елементи програмованого навчання. Цей елемент дуже корисний тим, що учень відразу отримує підкріплення правильності або, навпаки, хибності своїх дій. При хибності рішення він шукає нові шляхи вирішення.
Учитель в школі часто не може бути впевненим, що рішення задачі зрозуміле усіма учнями. Тому дуже корисно провести роботу щодо закріплення вирішення цього завдання. Робота по закріпленню рішення задачі може бути проведена різними прийомами.
1. Ставляться вузлові питання за змістом завдання.
2. Пропонується розповісти весь хід розв'язання задачі з обґрунтуванням вибору дій.
3. Ставляться питання до окремих дій або питань. Для учнів важливо не кількість вирішених аналогічних завдань, а розуміння предметної ситуації в залежності між даними. Цій меті і служить подальша робота над вирішеним завданням, яку можна розглядати як важливий прийом формує навички рішення задач даного виду. Кращому розумінню предметного зміст завдань, залежності між даними і шуканими сприяє рішення задач із зайвими або відсутніми числовими даними, записаними не числиться, а словами. Спостереження показують, що кращі вчителі широко використовують як один із прийомів навчання рішенню завдань складання завдань самими учнями.
Складання завдань допомагає дітям краще усвідомити життєво-практичну значимість завдання, глибше зрозуміти її структуру, а також розрізняти завдання різних видів, Усвідомити прийоми їх вирішення. Складання завдань проводиться паралельно з рішенням готових завдань. Досвід і спостереження показують, що найлегше для учнів часткове складання завдань. Слід стимулювати складання учнями задач з різноманітними фабулами. Це сприяє розвитку їх уяву кмітливості, ініціативи. Дуже корисно, коли для складання задач учні залучають матеріал «видобувається» ними під час екскурсій, з довідників, газет, журналів і т.д. Учнів старших класів необхідно вчити заповнювати і писати ділові документи, пов'язані з тими чи іншими розрахунками. Наприклад, написати довіреність, заповнити бланк на грошовий переказ і т.д. Все, зазначені вище прийоми можуть бути широко використані при вирішенні всіх видів завдань.
Простою арифметичною завданням називається задача, яка вирішується одним арифметичною дією. Прості завдання грають надзвичайну роль при навчанні учнів математики. Саме прості завдання дозволяють розкрити основний зміст і конкретизувати арифметичні дії, сформувати ті чи інші математичні поняття. Прості завдання є складовою частиноюскладних завдань, а отже, формуючи вміння вирішувати їх, учитель готує учнів до вирішення складних завдань.
На кожному навчальному роцінавчання учні знайомляться з новими видами простих завдань. Поступове введення їх пояснюється різним ступенем труднощі математичних понять, місцем вивчення тих арифметичних дій, конкретний зміст яких вони розкривають. Не менш пильної уваги вчителя при виборі завдань даного виду заслуговує і конкретизація і зміст. Нарешті вчитель вчить конкретизувати зміст завдання, розкриваючи залежність між даними і шуканими за допомогою різних форм короткої записи.
Досвід роботи кращих вчителів показує, що підготовку до вирішення арифметичних задач слід починати з збагачення і розвитку практичного досвіду учнів, орієнтування їх у навколишньої дійсності. Учнів потрібно вести в ту життєву ситуацію, в якій доводиться вважати, вирішувати арифметичні завдання, виробляти зміни. Причому ці ситуації не слід на перших порах створювати штучно, на них лише слід звернути і направляти увагу учнів. Учитель організовує спостереження над зміною кількості елементів предметних множин вмісту судин і т. Д., Що сприяє розвитку уявлень учнів про кількість до знайомства їх з певною термінологією, яка згодом зустрінеться при словесному формулюванні завдань: стало, все залишилося, взяли, збільшилася, зменшилася і т.д. Треба організувати так ігрову і практичну діяльність учнів, щоб, будучи безпосередніми учасниками цієї діяльності, а також спостерігаючи, учні самі могли робити висновок у кожному окремому випадку; збільшилася чи зменшилася кількість елементів множини і який операцією і словесному вираженню відповідає це збільшення або зменшення. Цей етап підготовчої роботи збігається з початком роботи над числами першого десятка і знайомства з арифметичними діями, з рішенням і складанням прикладів операцій з предметними множинами.
Перш ніж приступити до навчання рішення арифметичних задач, вчитель повинен ясно собі уявити, які знання, вміння і навички потрібно дати учням. Щоб вирішити задачу, учні повинні вирішувати арифметичні приклади, Слухати, а потім читати завдання, повторювати завдання з питань, по короткої записи, по пам'яті, виділяти в завданні складові компоненти, вирішувати завдання і перевіряти її правильність рішення. У 1 класі учні вчаться вирішувати завдання на знаходження суми і залишку. Ці завдання вводяться вперше при навчанні чисел першого десятка. При навчанні вирішення завдань на знаходження суми однакових доданків, на розподіл на рівні частини або на розподіл за змістом, слід спиратися на розуміння учнями суті арифметичних дій множення і ділення. До рішення задачі на різний порівняння учнями потрібно дати поняття про порівняння предметів однієї сукупності, двох предметних сукупностей, величин, чисел, встановлюючи між ними відносини рівності і нерівності. Складовою або складної арифметичної завданням називається задача, яка вирішується двома або більшою кількістю арифметичних дій. Психологічні дослідження з вивчення особливостей рішення складових арифметичних задач показують, що діти не дізнаються знайомих простих завдань в контексті нової складовою завдання. Підготовча роботадо вирішення складових завдань повинна представити собою систему вправ, прийомів, цілеспрямовано провідних учнів до оволодіння рішенням складових завдань. До вирішення складових завдань вчитель може переходити тоді, коли переконається, що учні оволоділи прийомами рішення простих завдань, які увійдуть в складову завдання, самі можуть скласти просту задачу певного виду. При вирішенні складових завдань учні повинні або до даних ставити питання або до питання підбирати дані. Тому в підготовчий період, тобто протягом усього першого року і на початку другого року навчання, слід пропонувати учням завдання:
1. До готового умові підібрати питання.
2. З питання скласти задачу, підібравши відсутні числові дані.
Складаючи прості і складові завдання, учні поступово навчаться дізнаватися в складовою задачі прості, що вже були у досвіді їх вирішення дуже корисні вправи на складання складних завдань. Це сприятиме кращому засвоєнню видів простих задач, вмінню їх дізнаватися вичленувати в складовою задачі, допоможе учням більш свідомо здійснювати аналіз завдань. При вирішенні складових завдань учнів слід навчити загальним прийомам роботи над завданням; вмінню аналізувати зміст завдання, виділяючи відомі дані, шукане (тобто встановлюючи, що потрібно дізнатися в задачі), визначте, яких даних не вистачає для відповіді на головне питання в задачі. У практиці роботи школи виправдав себе, прийом роботи з картками, завданнями в яких викладається послідовність роботи над завданням. При вирішенні завдань оформлення її рішення записується з питаннями або записується кожна дія і пояснюється. Вироблення узагальненого способу розв'язання задач даного виду забезпечується багаторазовим рішенням завдань з різноманітними видами, фабулами, рішенням готових і складених самими учнями завдань, порівнянням завдань даного виду з раніше вирішувалися видами завдань і т. Д.
1. Поясніть обчислювальний прийом для випадків 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 все обчислювальні прийоми з концентра сотня.
1) 40+20= 4д + 2д = 6д = 60
2) 50-30 = 5д-3д = 2д = 20
3) 34+20= 3д + 4ед + 2д = 5д 4ед = 54
4) 34+2 = 3д + 4ед + 2ед = 3д 6ед = 36
5) 48-30 = 4д + 8ед-3д = 1д 8ед = 18
6) 48-3= 4д + 8ед-3ед = 4д 5 од = 45
Всі прийоми обчислення усні і виконуються на основі за розрядами додавання і віднімання.
Як відомо, безліч натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою відносини «менше». Але правила побудови аксіоматичної теорії вимагають, щоб це відношення було не тільки визначено, але і зроблено це на основі вже визначених у даній теорії понять. Зробити це можна, визначивши відношення «менше» через додавання.
Визначення. Число а менше числа b (а< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При цих умовах говорять також, що число bбільше аі пишуть b> а.
Теорема 12.Для будь-яких натуральних чисел аі bмає місце одне і тільки одне з трьох відносин: а = b, а> b, а < b.
Доказ цієї теореми ми опускаємо. З цієї теореми випливає, що якщо
а ¹ b,то або а< b, або а> b,тобто відношення «менше» має властивість пов'язаності.
Теорема 13.якщо а< b і b< с. то а< с.
Доведення. Ця теорема висловлює властивість транзитивності відносини «менше».
Так як а< b і b< с. то, за визначенням відносини «менше», знайдуться такі натуральні числа доі що b = а + до і з = b + I.Але тоді з = (а + к)+ / І на підстави властивості асоціативності додавання отримуємо: з = а + (до +/). оскільки до + I -натуральне число, то, згідно з визначенням «менше», а< с.
теорема 14. якщо а< b, то невірно, що b< а. Доведення. Ця теорема висловлює властивість антисиметричністьвідносини «менше».
Доведемо спочатку, що ні для одного натурального числа ачи не ви -!>! ■) ея ставлення а< а.Припустимо гидке, тобто що а< а має місце. Тоді, за визначенням відносини «менше», знайдеться такоенатуральное число с,що а+ з= а,а це суперечить теоремі 6.
Доведемо тепер, що якщо а< b, То невірно, що b < а.Припустимо гидке, тобто що якщо а< b , то b< а виконується. Але з цих рівностей по теоремі 12 маємо а< а, що неможливо.
Так як певне нами відношення «менше» антисиметрично і транзитивно і має властивість пов'язаності, то воно є відношенням лінійного порядку, а безліч натуральних чисел лінійно впорядкованим безліччю.
З визначення «менше» і його властивостей можна вивести відомі властивості безлічі натуральних чисел.
Теорема 15.З усіх натуральних чисел одиниця є найменшим числом, тобто I< а для любого натурального числа а¹1.
Доведення. нехай а -будь-яке натуральне число. Тоді можливі два випадки: а = 1 і а ¹ 1. Якщо а = 1, то існує натуральне число b,за яким слід а: а = b "= b + I = 1 + b,тобто, за визначенням відносини «менше», 1< а.Отже, будь-яке натуральне дорівнює 1 або більше 1. Чи, одиниця є найменшим натуральним числом.
Ставлення «менше» пов'язано зі складанням і множенням чисел властивостями монотонності.
Теорема 16.
а = b => а + с = b + з і а с = b с;
а< b =>а + з< b + с и ас < bс;
а> b => а + с> b + з і ас> bс.
Доведення. 1) Справедливість цього твердження випливає з єдиності додавання і множення.
2) Якщо а< b,
то існує таке натуральне число k,що а
+ K = b.
тоді b+ з = (а + к) + с = а + (до + с) = а + (з+ к)= (А + с) + к.рівність b+ з = (а + с) + доозначає, що а + з< b
+ с.
Точно так само доводиться, що а< b =>ас< bс.
3) Доводиться аналогічно.
теорема 17(Зворотна теоремі 16).
1) а+ з = Ь + сабо ас ~ Ьс-Þ а = Ь
2) а + з< Ь + с або ас< ЬСÞ а< Ь:
3) а + с> Ь+ З або ас> ЬСÞ а> Ь.
Доведення. Доведемо, наприклад, що з ас< bс слід а< b Припустимо гидке, тобто що висновок теореми не виконується. Тоді не може бути, що а = b.так як тоді б виконувалося рівність ас = bс(Теорема 16); не може бути і а> b,так як тоді б ас> bс(Теорема! 6). Тому, відповідно до теореми 12, а< b.
З теорем 16 і 17 можна вивести відомі правила почленного додавання і множення нерівностей. Ми їх опускаємо.
теорема 18. Для будь-яких натуральних чисел аі b; існує таке натуральне число n, що п b> а.
Доведення. для будь-якого азнайдеться таке число п, що п> а.Для цього достатньо взяти п = а + 1. Перемножая почленно нерівності п> аі b> 1, отримуємо пb > а.
З розглянутих властивостей відносини «менше» випливають важливі особливості безлічі натуральних чисел, які ми наводимо без доведення.
1. Ні для одного натурального числа ане існує такого натурального числа п,що а< п < а +
1. Це властивість називається властивістю
дискретностібезлічі натуральних чисел, а числа аі а + 1 називають сусідніми.
2.
Будь-яке непорожнє підмножина натуральних чисел містить
найменше число.
3. Якщо М- непорожня підмножина безлічі натуральних чисел
і існує таке число b,що для всіх чисел х з Мвиконувати не
рівність х< b,то в безлічі Мє найбільше число.
Проілюструємо властивості 2 і 3 на прикладі. нехай М- безліч двозначних чисел. Так як Мє підмножина натуральних чисел і для всіх чисел цього безлічі виконується нерівність х< 100, то в множестве Мє найбільше число 99. Найменше число, що міститься в даному безлічі М, -число 10.
Таким чином, ставлення «менше» дозволило розглянути (і в ряді випадків довести) значне число властивостей безлічі натуральних чисел. Зокрема, воно є лінійно впорядкованим, дискретним, в ньому є найменше число 1.
З відношенням «менше» ( «більше») для натуральних чисел молодші школярі знайомляться на самому початку навчання. І часто, поряд з його теоретико-множинної трактуванням, неявно використовується визначення, дане нами в рамках аксіоматичної теорії. Наприклад, учні можуть пояснити, що 9> 7 так як 9 - це 7 + 2. Нерідко і неявне використання властивостей монотонності додавання і множення. Наприклад, діти пояснюють, що «6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
вправи
1, Чому безліч натуральних чисел не можна впорядкувати за допомогою відносини «безпосередньо слідувати за»?
Сформулюйте визначення відносини а> bі доведіть, що воно транзитивно і антисиметрично.
3. Доведіть, що якщо а, b, з- натуральні числа, то:
а) а< b Þ ас < bс;
б) а+ з< b + сÞ> а< Ь.
4. Які теореми про монотонності додавання і множення можуть
використовувати молодші школярі, Виконуючи завдання «Сировина, не виконуючи обчислень»:
а) 27 + 8 ... 27 + 18;
б) 27- 8 ... 27 -18.
5. Які властивості безлічі натуральних чисел неявно використовують молодші школярі, виконуючи такі завдання:
А) Запиши числа, які більше, ніж 65, і менше, ніж 75.
Б) Назви попереднє і наступне числа по відношенню до числа 300 (800,609,999).
В) Назви найменше і найбільше тризначне число.
віднімання
При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел віднімання зазвичай визначається як операція, зворотна додаванню.
Визначення. Відніманням натуральних чисел а і b називається операція, яка задовольнить умові: а - b = з тоді і тільки тоді, коли b + с = а.
число а - bназивається різницею чисел а і b,число а- зменшуваним, ачісло b -від'ємником.
Теорема 19.Різниця натуральних чисел а- bіснує тоді і тільки тоді, коли b< а.
Доведення. нехай різниця а- bіснує. Тоді, за визначенням різниці, знайдеться таке натуральне число с,що b + с = а,а Цеозначає, що b< а.
Якщо ж b< а, то, за визначенням відносини «менше», існує таке натуральне число с, що b + с = а.Тоді, за визначенням різниці, з = а - b,тобто різницю а - bіснує.
Теорема 20. Якщо різниця натуральних чисел аі bіснує, то вона єдина.
Доведення. Припустимо, що існує два різних значення різниці чисел аі b;: а - b= с₁і а - b= с₂, причому с₁ ¹ с₂.Тоді за визначенням різниці, маємо: а = b + с₁,і а = b + с₂:.Звідси слідує що b+ з ₁ = b + с₂:і на підставі теореми 17 укладаємо, с₁ = с₂ ..Прийшли до суперечності з допущенням, значить, воно невірне, а вірна дана теорема.
Виходячи з визначення різниці натуральних чисел і умови її існування, можна обґрунтувати відомі правила віднімання числа із суми і суми з числа.
теорема 21. нехай а. bі з- натуральні числа.
а якщо а> с, то (а + b) - с = (a - c) + b.
б) Якщо b> с. то (а + b) - с - а + (b - с).
в) Якщо а> c і b> с.то можна використовувати будь-яку з даних формул.
Доведення. У разі а) різницю чисел аі cіснує, так як а> с.Позначимо її через х: а - з = х.звідки а = з + х. якщо (а+ b) - с = у.то, за визначенням різниці, а+ b = з+ у. Підставами в це рівність замість авираз з + х:(З + х) + b = з + у.Скористаємося властивістю асоціативності додавання: з + (х + b) = з+ у. Перетворимо цю рівність на основі властивості монотонності складання, отримаємо:
х + b = у..Заменів в даному рівність х на вираз а - с,матимемо (А -г) + B = у.Таким чином, ми довели, що якщо а> с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогічно проводиться доказ і в разі б).
Доведену теорему можна сформулювати у вигляді правила, зручного для запам'ятовування: дли того щоб відняти число з суми, достатньо відняти це число з одного доданка суми і до отриманого результату додати інше доданок.
Теорема 22.нехай а, b і з -натуральні числа. якщо а> b+ С, то а- (B + с) = (а - b) - забо а - (b + с) = (а - c) - b.
Доказ цієї теорії аналогічно доведенню теореми 21.
Теорему 22 можна сформулювати у вигляді правила, для того щоб відняти з числа суму чисел, досить відняти з цього числа послідовно кожний доданок одне за іншим.
У початковому навчанні математиці визначення вирахування як дії, зворотного додаванню, в Загалом вигляді, Як правило, не дається, але їм постійно користуються, починаючи з виконання дій над однозначними числами. Учні повинні добре розуміти, що віднімання пов'язано зі складанням, і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Віднімаючи, наприклад, з числа 40 число 16, учні міркують так: «Відняти від 40 число 16 - що значить знайти таке число, при додаванні якого з числом 16 виходить 40; таким числом буде 24, так як 24 + 16 = 40. Значить. 40 - 16 = 24 ».
Правила віднімання числа із суми і суми з числа в початковому курсі математики є теоретичною основоюрізних прийомів обчислень. Наприклад, значення виразу (40 + 16) - 10 можна знайти, не тільки обчисливши суму в дужках, а потім відняти від неї число 10, але і таким чином;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
вправи
1. Чи вірно, що кожне натуральне число виходить з безпосередньо наступного відніманням одиниці?
2. У чому особливість логічної структури теореми 19? Чи можна її сформулювати, використовуючи слова «необхідно і достатньо»?
3. Доведіть, що:
а якщо b> с,то (А + b) - с = а + (b - з);
б) якщо а> b + з, то а - (b+ С) = (А - b) - с.
4.Чи можна, не виконуючи обчислень, сказати, значення яких виразів дорівнюватимуть:
а) (50 + 16) - 14; г) 50 + (16 -14 ),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.
5. Які властивості віднімання є теоретичною основою наступних прийомів обчисленні, що вивчаються в початковому курсі математики:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишіть можливі способи обчислення значення виразу виду. а - b- зі проиллюстрируйте їх на конкретних прикладах.
7. Доведіть, що при b< а і будь-яких натуральних c вірно рівність (A - b) з = ас - bс.
Вказівка. Доказ грунтується на аксіомі 4.
8. Визначте значення виразу, не виконуючи письмових обчислень. Відповіді обґрунтуйте.
а) 7865 × 6 - 7865 × 5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 - 7 × 36.
розподіл
При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел розподіл зазвичай визначається як операція, зворотна множенню.
Визначення. Розподілом натуральних чисел а і b називається операція, яка задовольнить умові: а: b = з тоді і тільки тоді,до оли b× з = а.
число а: bназивається приватнимчисел аі b,число аділеним, число b- дільником.
Як відомо, розподіл на безлічі натуральних чисел існує не завжди, і такого зручного ознаки існування приватного, який існує для різниці, немає. Є тільки необхідна умова існування приватного.
Теорема 23.Для того щоб існувало приватне двох натуральних чисел аі b, Необхідно, щоб b< а.
Доведення. Нехай приватне натуральних чисел аі bіснує, тобто є таке натуральне число c, що bс = а.Так як для будь-якого натурального числа 1 справедливо нерівність 1 £ с,то, помноживши обидві його частини на натуральне число b, отримаємо b£ bс.але bс = а,отже, b£ а.
Теорема 24.Якщо приватна натуральних чисел аі bіснує, то він єдиний.
Доказ цієї теореми аналогічно доведенню теореми про єдиності різниці натуральних чисел.
Виходячи з визначення приватного натуральних чисел і умови його існування, можна обґрунтувати відомі правила ділення суми (різниці, твори) на число.
Теорема 25.якщо числа аі bділяться на число с,то і їх сума а + bділиться на с, причому частка, що отримується при розподілі суми а+ bна число с,дорівнює сумі приватних, одержуваних при розподілі ана зі bна з, Тобто (А + b):з = а: з + b:с.
Доведення. Так як число аділиться на с,то існує таке натуральне число х = а;с, що а = сх.Аналогічно існує таке натуральне число у = b:с,що
b= су.Але тоді а + b = сх+ су = - с (х + у).Це означає що а + bділиться на c, причому частка, що отримується при розподілі суми а+ bна число c, так само х + у,тобто ах + b: с.
Доведену теорему можна сформулювати у вигляді правила ділення суми на число: для того щоб розділити суму на число, достатньо розділити на це число кожний доданок і отримані результати скласти.
Теорема 26.Якщо натуральні числа аі bділяться на число зі а> b,то різниця а - bділиться на c, причому частка, що отримується при розподілі різниці на число c, дорівнює різниці приватних, одержуваних при розподілі ана зі bна c, тобто (А - b): с = а: с - b: с.
Доказ цієї теореми проводиться аналогічно доказу попередньої теореми.
Цю теорему можна сформулювати у вигляді правила розподілу різниці на число: длятого, щоб розділити різницю на число, достатньо розділити на це число зменшуване і від'ємник і з першого приватного відняти друге.
Теорема 27.Якщо натуральне число аділиться на натуральне число с, то для будь-якого натурального числа bтвір, добуток аbділиться на с. При цьому частка, що отримується при поділі праці аbна число з , дорівнює добутку приватного, одержуваного при розподілі ана с,ічісла b: (а × b): с - (а: с) × b.
Доведення. Так як аділиться на с,то існує таке натуральне число х, що а: з= Х, звідки а = сх.Помноживши обидві частини рівності на b,отримаємо аb = (сх) b.Оскільки множення асоціативно, то (Сх) b = с (х b).Звідси (А b): с = х b = (а: с) b.Теоремуможно сформулювати у вигляді правила поділу праці на число: для того щоб розділити твір на число, достатньо розділити на це число один з множників і отриманий результат помножити на другий множник.
У початковому навчанні математиці визначення розподілу як операції зворотного множенню, в загальному вигляді, як правило, не дається, але їм постійно користуються, починаючи з перших уроків ознайомлення з розподілом. Учні повинні добре розуміти, що поділ пов'язано з множенням, і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Виконуючи поділ, наприклад, 48 на 16, учні міркують так: «Розділити 48 на 16 - це означає знайти таке число, при множенні якого на 16 вийде 48; таким числом буде 3, так як 16 × 3 = 48. Отже, 48: 16 = 3.
вправи
1. Доведіть, що:
а) якщо приватний натуральних чисел а й bіснує, то воно єдино;
б) якщо числа а й bподіляються на зі а> b,то (А - b): с = а: с - b: с.
2. Чи можна стверджувати, що всі дані рівності вірні:
а) 48: (2 × 4) = 48: 2: 4; б) 56: (2 × 7) = 56: 7: 2;
в) 850: 170 = 850: 10: 17.
Яке правило є узагальненням даних випадків? Сформулюйте його і доведіть.
3. Які властивості ділення є теоретичною основою для
виконання наступних завдань, які пропонуються школярам початкових класів:
чи можна, не виконуючи ділення, сказати, значення яких виразів будуть однаковими:
а) (40+ 8): 2; в) 48: 3; д) (20+ 28): 2;
б) (30 + 16): 3; г) (21 + 27): 3; е) 48: 2;
Чи вірні рівності:
а) 48: 6: 2 = 48: (6: 2); б) 96: 4: 2 = 96: (4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Опишіть можливі способи обчислення значення виразу
виду:
а) (а+ b): с;б) а:b: С; в) ( а × b): з .
Запропоновані способи проиллюстрируйте на конкретних прикладах.
5. Знайдіть значення виразу раціональним способом; свої
дії обґрунтуйте:
а) (7 × 63): 7; в) (15 × 18):(5× 6);
б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обгрунтуйте наступні прийоми поділу на двозначне число:
а) 954: 18 = (900 + 54): 18 = 900: 18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
б) 882: 18 = (900 - 18): 18 = 900: 18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
в) 480: 32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. Не виконуючи ділення куточком, знайдіть найбільш раціональним
способом приватне; обраний спосіб обґрунтуйте:
а) 495: 15; в) 455: 7; д) 275: 55;
6) 425: 85; г) 225: 9; е) 455: 65.
Лекція 34.Свойства безлічі цілих невід'ємних чисел
1. Безліч цілих невід'ємних чисел. Властивості множини цілих невід'ємних чисел.
2. Поняття відрізка натурального ряду чисел і рахунки елементів кінцевого безлічі. Порядкові та кількісні натуральні числа.
До державного іспиту за фахом
1. Лінійне (векторне) простір над полем. Приклади. Підпростору, найпростіші властивості. Лінійна залежністьі незалежність векторів.
2. Базис і розмірність векторного простору. Матриця координат системи векторів. Перехід від одного базису до іншого. Ізоморфізм векторних просторів.
3. Алгебраїчна замкнутість поля комплексних чисел.
4. Кільце цілих чисел. Впорядкованість цілих чисел. Теореми про «найбільшому» і «найменшому» загалом числі.
5. Група, приклади груп. Найпростіші властивості груп. Підгрупи. Гомоморфізм і ізоморфізм груп.
6. Основні властивості подільності цілих чисел. Прості числа. Нескінченність безлічі простих чисел. Канонічний розклад складеного числа і його єдиність.
7. Теорема Кронекера-Капеллі (критерій спільності системи лінійних рівнянь).
8. Основні властивості порівнянь. Повна і наведена системи відрахувань по модулю. Кільце класів відрахувань по модулю. Теореми Ейлера і Ферма.
9. Додаток теорії порівнянь до висновку ознак подільності. Звернення звичайного дробу в десяткову і визначення довжини її періоду.
10. Спряженість уявних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами. Непріводімие над полем дійсних чисел многочлени.
11. Лінійні порівняння з однією змінною (критерій можливості розв'язання, способи вирішення).
12. Рівносильні системи лінійних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих.
13. Кільце. Приклади кілець. Найпростіші властивості кілець. Подкольцо. Гомоморфізми і ізоморфізми кілець. Поле. Приклади полів. Найпростіші властивості. Мінімальність поля раціональних чисел.
14. Натуральні числа (основи аксіоматичної теорії натуральних чисел). Теореми про «найбільшому» і «найменшому» натуральному числі.
15. Багаточлени над полем. Теорема про розподіл із залишком. Найбільший спільний дільник двох многочленів, його властивості та способи знаходження.
16. Бінарні відносини. Ставлення еквівалентності. Класи еквівалентності, фактормножество.
17. Математична індукція для натуральних і цілих чисел.
18. Властивості взаємно простих чисел. Найменше спільне кратне цілих чисел, його властивості та способи знаходження.
19. Поле комплексних чисел, числові поля. Геометричне уявлення і тригонометрическая форма комплексного числа.
20. Теорема про розподіл із залишком для цілих чисел. Найбільший спільний дільник цілих чисел, його властивості та способи знаходження.
21. Лінійні оператори векторного простору. Ядро і образ лінійного оператора. алгебра лінійних операторіввекторного простору. Власні значення і власні вектори лінійного оператора.
22. Афінний перетворення площині, їх властивості та способи завдання. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
23. Багатокутники. Площа багатокутника. Теорема існування та єдиності.
24. рівновеликих і равносоставленності багатокутників.
25. Геометрія Лобачевського. Несуперечливість системи аксіом геометрії Лобачевського.
26. Поняття паралельності в геометрії Лобачевського. Взаємне розташуванняпрямих на площині Лобачевського.
27. Формули рухів. Класифікація рухів площині. Додатки до вирішення завдань.
28. Взаємне розташування двох площин, прямої та площини, двох прямих у просторі (в аналітичному викладі).
29. Проективні перетворення. Теорема існування та єдиності. Формули проектних перетворень.
30. Скалярний, векторний та змішане твори векторів, їх додатку до рішення задач.
31. Система аксіом Вейля тривимірного евклідового простору і її змістовна несуперечливість.
32. Руху площині і їх властивості. Група рухів площини. Теорема існування та єдиності руху.
33. Проективна площину і її моделі. Проективні перетворення, їх властивості. Група проектних перетворень.
34. Перетворення подібності площині, їх властивості. Група перетворень подібності площини і її підгрупи.
35. Гладкі поверхні. Перша квадратична форма поверхні та її застосування.
36. Паралельне проектування та його властивості. Зображення плоских і просторових фігур в паралельній проекції.
37. Гладкі лінії. Кривизна просторової кривої і її обчислення.
38. Еліпс, гіпербола і парабола як конічні перетину. Канонічні рівняння.
39. Діректоріальное властивість еліпса, гіперболи і параболи. Полярні рівняння.
40. Подвійне відношення чотирьох точок прямої, його властивості та обчислення. Гармонійна розділеність пар точок. Повний чотирикутник і його властивості. Додаток до рішення задач на побудову.
41. Теорема Паскаля і Бріаншона. Полюси і поляри.
Зразкові питання з математичного аналізу
Теореми про "найбільшому" і "мінімальному" цілому числі
Теорема 4 (про "найменшому" цілому числі). Будь-яке непорожнє, обмежене знизу безліч цілих чисел міститься найменша Віслі. (Тут, як і в разі натуральних чисел, слово "безліч" використовується замість слова "підмножина" Е
Доведення. Нехай Про А З Z і А обмежена знизу, тобто 36? ZVa? А (Ь< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Нехай тепер Ь А.
Тоді Уа е Аф< а) и, значит, Уа А(а - Ь >О).
Утворити безліч М всіх чисел виду а - Ь, де а пробігає безліч А, тобто М = (з [с = а - Ь, а Е А)
Очевидно, що безліч М не порожньо, оскільки А 74 0
Як зазначено вище, М З N. Отже, за теоремою н а т у р ал ь н о м ч і з л е (54, гл.Ш) в безлічі М існує найменше натуральне число т. Тоді т = а1 - Ь для деякого числа а1? А, і, оскільки т найменше в М, то Уа? А (т< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Теорема 5 (про "найбільшому" цілому числі). Будь-яке непорожнє, обмежене сверсу безліч целис чисел міститься найбільша кількість.
Доведення. Нехай Про 74 А С Z і А обмежена зверху числом Ь, тобто ? ZVa е А (а< Ь). Тогда -а >Ь для всіх чисел а? А.
Отже, безліч М (з г = -а, а? А) не порожньо і обмежена знизу числом (-6). Звідси за попередньою теоремою в безлічі М сіцествует найменше число, тобто ас? Мус? М (з< с).
Це означає, що Уа? А (з< -а), откуда Уа? А(-с >а)
З. Різні форми методу математичної індукції для цілих чисел. Теорема про розподіл із залишком
Теорема 1 (перша форма методу математичної індукції). Нехай Р (с) - оДноместниб предикатів, визначених на безлічі Z цілих чісе., 4. Тоді якщо Для деякого числа а Z пропозиції Р (о) і Для довільного цілого числа К> а з Р (К) слід Р (К -4- 1), то пропозиція Р (г) справеДліео Для всес цілі, т чиселз> а (тобто на безлічі Z є істинною наступна формула обчислення предикатів:
Р (а) цибуля> + 1)) Ус> АР (с)
для будь-якого фіксованого цілого числа а
Доведення. Нехай для пропозиції Р (с) вірно все, про що йдеться в умові теореми, тобто
1) Р (а) - це правда,
2) КК Щ до + також істинно.
Від противного. Припустимо, що знайдеться таке число
Ь> а, що РФ) - помилково. Очевидно, що Ь а, оскільки Р (а) істинно. Утворити безліч М = (z?> А, P (z) - помилково).
Тоді безліч М 0, оскільки Ь? М і М обмежена знизу числом а. Отже, по теоремі про н а і м е н ьш е м ц е л про м ч і з л е (теорема 4, 2) в безлічі М існує найменше ціле число с. Звідси з> а, що, в свою чергу, тягне з - 1> а.
Доведемо, що Р (с-1) - істинно. Якщо з-1 = а, то Р (с- 1) істинно в силу умови.
Нехай с- 1> а. Тоді припущення, що Р (с- 1) - помилково, тягне приналежність з 1? М, чого не може бути, оскільки число с- найменше в безлічі М.
Таким чином, з - 1> а і Р (с - 1) - істинно.
Звідси в силу умови даної теореми пропозицію Р ((с- 1) + 1) - істинно, тобто Р (с) - істинно. Це суперечить вибору числа с, оскільки з? М Теорема доведена.
Зауважимо, ця теорема узагальнює наслідок 1 з аксіом Пеано.
Теорема 2 (друга форма методу математичної індукції для цілих чисел). Нехай Р (с) - деякий одномісний преДшсатп, определеннная) на безлічі Z целис чисел. Тоді якщо преЕложеніе Р (с) справедливо для деякого цілого числа До і Для довільного Цело го числа s До з справедливу пропозицію Р (с) Для всес цілих чисел, уДовлетворяющіс нерівності До< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >К.
Доказ цієї теореми багато в чому повторює доказ аналогічної теореми для натуральних чисел (теорема 1, 55, гл.Ш).
Теорема З (третя форма методу математичної індукції). Нехай Р (с) - оДноместньіЈ предикатів, визначених на безлічі Z целис чіси. Тоді якщо Р (с) істинно Для всес чисел деякого нескінченна підмножина М безлічі натуральних чисел і Для довільного цілого числа а з істинності Р (а) слід істинність Р (а - 1), то пропозиція Р (с) справедливо для всес целис чисел.
Доказ аналогічно доведенню соответствукощей теореми для натуральних чисел.
Пропонуємо його в якості цікавого вправи.
Зауважимо, що в практиці застосування третя форма математичної індукції зустрічається рідше, ніж інші. Це пояснюється тим, що для її застосування необхідно знати нескінченна підмножина М безлічі натуральних чисел ", про який йдеться в теоремі. Знаходження такого безлічі може виявитися нелегким завданням.
Але перевага третьої форми перед іншими полягає в тому, що з її допомогою пропозиція Р (с) доводиться Для всес целис чисел.
Нижче ми наведемо цікавий приклад застосування третьої форми ". Але спочатку дамо одне дуже важливе поняття.
Визначення. Абсолютною величиною цілого числа а називається число, визначеної за правилами
0, якщо а Про а, якщо а> Про
А, якщо а< 0.
Таким чином, якщо а 0, то? N.
Пропонуємо читачеві як вправа довести наступні властивості абсолютної величини:
Теорема (про розподіл із залишком). Для любис целис чисел а і Ь, де Ь 0, існує і притому тільки одна пара чисел q U т таких, що а г: bq + T Л Д.
Доведення.
1. Існування пари (q, т).
Нехай а, Ь? Z і 0. Покажемо, що існує пара чисел q і, які відповідають умовам
Доказ проведемо індукцією в третій формі за кількістю а при фіксованому числі Ь.
М = (mlm = n lbl, n? N).
Очевидно, що М З лт відображення f: N М, визначене за правилом f (n) = nlbl для будь-якого п? N, є біекція. Це означає, що М N, тобто М- нескінченно.
Доведемо, що для довільного числа а? М (і Т- фікс рованного) твердження теореми про існування пари чисел q і т вірно.
Дійсно, нехай а (- М. Тоді а пф! Для деякого п? N.
Якщо Ь> 0, то а = пь + О. Вважаючи тепер q = п і т О, отримуємо необхідну пару чисел q і т. Якщо ж Ь< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Зробимо тепер інДуктпіеное припущення. Припустимо, що для довільного цілого числа з (і довільного фіксованого Ь 0) твердження теореми вірно, тобто існує пара чисел (q, т) така, що
Доведемо, що воно вірне і для числа (з 1). З рівності з = bq -4- слід bq + (т - 1). (1)
Можливі випадки.
1) т> 0. Тоді 7 "- 1> 0. В цьому випадку, поклавши - т - 1, отримаємо з - 1 - bq + Tl, де пара (q, 7" 1,) очевидно задовольняє умові
0. Тоді з - 1 bq1 + 711, де q1
Без праці доведемо, що 0< < Д.
Таким чином, твердження вірне і для пари чисел
Перша частина теореми доведена.
П. єдиним пари q і т.
Припустимо, що для чисел а і Ь 0 існують дві пари чисел (q, т) і (q1, то, що задовольняють умовам (*)
Доведемо, що вони збігаються. Отже, нехай
і а bq1 Л Про< Д.
Звідси випливає, що b (q1 -q) т- 7 1 1. З цієї рівності випливає, що
Якщо тепер припустити, що q ql, то q - q1 0, звідки lq - q1l 1. Примножуючи ці нерівності почленно на число lbl, отримаємо ф! - q11 Д. (3)
У той же час з нерівностей 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
У п р а ж н е н і я:
1. Завершіть доведення теорем 2 і З из 5 1.
2. Доведіть наслідок 2 з теореми З, 1.
3. Доведіть, що підмножина Н С Z, що складається з усіх чисел виду< п + 1, 1 >(П? N), замкнуто щодо додавання і множення.
4. Нехай Н означає те ж безліч, що і у вправі 3. Доведіть, що відображення ј: М задовольняє умовам:
1) ј - біекція;
2) ј (п + т) = ј (п) + j (m) і j (nm) = ј (п) j (m) для будь-яких чисел п, т (тобто ј здійснює ізоморфізм алгебр (N, 4, і (Н, +,).
5. Завершіть доказ теореми 1 з 2.
6. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел а, b, с справедливі імплікації:
7. Доведіть другу і третю теореми з З.
8. Доведіть, що кільце Z цілих чисел не містить дільників нуля.
література
1. Бурбак Н. Теорія множин. М .: Мир, 1965.
2. винограду І. М. Основи теорії чисел. М .: Наука, 1972. З. Демидов І. Т. Підстави арифметики. М .: Учпедгиз, 1963.
4. Каргаполов М. І., Мерзляков Ю. І. Основи теорії груп.
М .: Наука, 1972.
5. Кострикін А. І. Введення в алгебру. М .: Наука, 1994.
б. Куликов Л. Я. Алгебра і теорія чисел. М .: Вища. шк., 1979.
7. Курош А.Г. Курс вищої алгебри. М .: Наука, 1971.
8. Любецький В. А. Основні поняття шкільної математики. М .: Просвещение, 1987.
9. Ляпін ЄС. і ін. Вправи з теорії груп. М .: Наука, 1967.
10. Мальцев А. І. Алгебраїчні системи. М .: Наука, 1970.
11. Мендельсон Е. Введення в математичну логіку. М .: Наука, 1971.
12. Нечаєв В. І. числові системи. М .: Просвещение, 1975.
13. Новіков П.С. Елементи математичної логіки. М .. Наука, 1973.
14. Петрова В. Т. Лекції з алгебри і геометрії .: В 2 ч.
СПД. М .: Владос, 1999..
15. сучасні основишкільного курсу математики Авт. кол: Виленкин Н.Я., Дунич К.І., Каллтжнін ЛА Столяр А.А. М .: Просвещение, 1980.
16. Скорняков Л. А. Елементи алгебри. М .: Наука, 1980.
17. Стом Р.Р. Безліч, логіка, аксіоматичні теорії. М .; Просвітництво, 1968.
18. Столяр А. А. Логічне введення в математику. Мінськ: Вишейшая. шк., 1971.
19. Філіппов В. П. Алгебра і теорія чисел. Волгоград: ВГПІ, 1975.
20. Френкел А., Бар-Хілель І. Підстави теорії множсств. М .: Мир, 1966.
21. Фукс Л. Частково Впорядкування системи. М .: Мир, 1965.
навчальне видання
Володимир Костянтинович Карташов
Вступний курс МАТЕМАТИКИ
Навчальний посібник
Редакційна підготовка О. І. Молоканова Оригінал-макет підготував А. П. Бощенко
"ПР 020048 від 20.12.96 р
Підписано до друку 28.08.99 Формат 60х84 / 16. Друк офс. Бум. тип. М 2. уел. печ. л. 8,2. Уч.-изд. л. 8,3. Тираж 500 прим. замовлення 2
Видавництво «Зміна»
Відрізком N натурального ряду називається безліч натуральних чисел, що не перевершують натурального числа а, тобто N = (х | х N і х а).
Наприклад, N це безліч натуральних чисел, що не перевершують 7, тобто N = (1,2,3,4,5,6,7).
Відзначимо два найважливіших властивості відрізків натурального ряду:
1) Будь-який відрізок N містить одиницю. Це властивість випливає з визначення відрізка натурального ряду.
2) Якщо число х міститься в відрізку N і х а, то безпосередньо наступне за НМІ число х + 1 також міститься в N.
Безліч А називається кінцевим, якщо воно рівнопотужності деякого відрізку N натурального ряду. Наприклад, безліч А вершин трикутника, безліч В букв в слові «мир» кінцеві безлічі, тому що вони рівнопотужні відрізку N = (1,2,3), тобто А ~ B ~ N.
Якщо непорожнє кінцеве безліч А рівнопотужності відрізку N, то натуральне число а називають числом елементів множини А і пишуть n (A) = a. Наприклад, якщо А - безліч вершин трикутника, то n (A) = 3.
Будь-яке непорожнє кінцеве безліч рівнопотужності одному і тільки одному відрізку натурального ряду, т.е.каждому кінцевому безлічі А може бути поставлено у відповідність однозначно певне число а, таке, що безліч А взаємно однозначно відображається на відрізок N.
Встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами непорожньої кінцевого безлічі А і відрізком натурального ряду називається рахунком елементів безлічі А. Так як будь-якій непорожньої кінцевому безлічі відповідає тільки одне натуральне число, то вся сукупність кінцевих множин розбивається на класи рівнопотужних множин. В одному класі будуть міститися всі одноелементні множини, в іншому - двоелементний і т.д. І це число можна розглядати як загальне властивість класу кінцевих рівнопотужних множин. Таким чином, з теоретико-множинної точки зору, натуральне число - це загальна властивість класу кінцевих рівнопотужних множин.
Число 0 теж має теоретико-множинне тлумачення - воно ставиться у відповідність порожньому безлічі: n () = 0.
Отже, натуральне число а як характеристику кількості можна розглядати з двох позицій:
1) як число елементів у множині А, що отримується при рахунку;
2) як загальне властивість класу кінцевих рівнопотужних множин.
Встановлена зв'язок між кінцевими множинами і натуральними числами дозволяє дати теоретико-множинне тлумачення відносини «менше».
Якщо а = n (А), b = n (B), то число а менше числа b тоді і тільки тоді, коли безліч А рівнопотужності власним подмножеству безлічі В, тобто А ~ В, де В В, В В, В (рис.1). Або коли відрізок натурального ряду N є власним підмножиною відрізка N, тобто N N.
Числа а і b рівні, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами: а = k А ~ B, де n (A) = a, n (B) = k. Наприклад, 2 = 2, тому що n (А) = 2, n (B) = 2, А = (a, b), B = (z, x), A ~ B.
Властивості відносини «менше» для натуральних чисел також отримують теоретико-множинне тлумачення: транзитивність і антисиметричність цього відносини пов'язані з тим, що транзитивно і антисиметрично відношення «бути підмножиною».
Покажемо, використовуючи теоретико-множинне трактування відносини «менше» для натуральних чисел, що 2
Візьмемо безліч А, що містить 2 елементи і безліч В, що містить 5 елементів, тобто n (А) = 2, n (B) = 5. Наприклад, А = (a, b), B = (c, d, e, f, r). З безлічі B можна виділити підмножина В, рівносильне безлічі А: наприклад В = (c, d) і А ~ В. Згідно з визначенням відносини «менше», 2
Справедливість цього нерівності випливає і з того, що N
Дане нерівність можна розглянути на малюнку 2. Нехай 2 - це число гуртків, а 5 - число квадратів. Якщо накласти гуртки на квадрати, то побачимо, що частина квадратів залишилося незакритими.
Значить, кількість гуртків менше кількості квадратів, тобто 2
Теоретико-множинний зміст нерівності 0
Порівняння чисел в початковому курсі математики здійснюється різними способами - воно засноване на всіх розглянутих нами підходах до трактування відносини «менше».
