Позначення, запис та зображення числових множин. Елементи теорії множин 3 множини містять 4 елементи

Поняття множини є одним з основних математичних понять. Це невизначене поняття, його можна лише описати чи пояснити на прикладах. Так, можна говорити про безліч літер в латинському алфавіті, безліч всіх книг у цій бібліотеці, безліч студентів у цій групі, безліч усіх точок даної лінії. Щоб встановити безліч, достатньо перерахувати елементи або вказати характеристичнівластивості елементів, тобто. така властивість, якою володіють всі елементи даної множини і тільки вони.

Визначення 1.1.Предмети (об'єкти), що становлять деяку кількість, називаються його елементами.

Безліч прийнято позначати великими латинськими літерами, а елементи множини – малими літерами. Те, що xє елементом множини A, записується так: x A(xналежить A). Запис виду x A(x A) означає, що xне належить A, тобто. не є елементом множини A.

Елементи множини прийнято записувати у фігурних дужках. Наприклад, якщо A –безліч, що складається з перших трьох букв латинського алфавіту, його записують так: A={a, b, c} .

Безліч може містити нескінченно багато елементів (множина точок прямої, безліч натуральних чисел), кінцеве число елементів (множина школярів у класі), або взагалі не містити жодного елемента (безліч студентів порожньої аудиторії).

Визначення 1.2.Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім безліччю, позначається Ø.

Визначення 1.3.Безліч Aназивається підмножиноюбезлічі B, якщо кожен елемент множини Aналежить і безлічі B. Це позначається A B(A –підмножина B).

Порожня множина вважають підмножиною будь-якої множини. Якщо безліч Aне є підмножиною множини B, то пишуть A B.

Визначення 1.4.Дві множини Aі Bназивають рівнимиякщо є підмножинами один одного. Позначають A = B.Це означає, що якщо x A, то x Bі навпаки, тобто. якщо і , то .

Визначення 1.5.Перетинмножин Aі Bназивають безліч M, елементи якого є одночасно елементами обох множин Aі B.Позначають M=A B.Тобто. x A B, то x Aі x B.

Записують A B={x | x Aі x B). (Замість спілки і –ставляться знаки, &).

Визначення 1.6.Якщо A B=Ø, то кажуть, що множини Aі B не перетинаються.

Аналогічно можна визначити перетин 3-х, 4-х та будь-якого кінцевого числа множин.

Визначення 1.7.Об'єднанняммножин Aі Bназивають безліч M, елементи якого належать хоча б одному з цих множин. M=A B.Т.о. A B={x | x Aабо x B). (Замість спілки або –ставиться знак).

Аналогічно визначається і безліч A 1 A 2 … A n .Воно складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з множин A 1,A 2,…,A n(а може, і декільком одразу) .

приклад 1.8. 1) якщо A=(1; 2; 3; 4; 5) і B=(1;3;5;7;9), то A B=(1;3;5) та A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) якщо A=(2;4) та B=(3;7), то A B=Ø та A B={2;3;4;7}.

3) якщо A=(літні місяці) та B=(місяці, в яких 30 днів), то A B=(червень) та A B=(квітень; червень; липень; серпень; вересень; листопад).

Визначення 1.9.Натуральниминазиваються числа 1,2,3,4,…, використовувані для рахунку предметів.

Безліч натуральних чисел позначається N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Воно є нескінченним, має найменший елемент 1 та не має найбільшого елемента.

приклад 1.10. A– безліч натуральних дільників числа 40. Перелічити елементи цієї множини. Чи правда, що 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (В,В,Н,Н,Н,В)

приклад 1.11.Перерахуйте елементи множин, що задані характеристичними властивостями.

Тут на перший план виступає саме те, що ми досі принципово залишали осторонь, а саме, питання про те, як наявні в множинах однакової потужності відносини порядку розрізняють ці множини. Адже ті взаємно однозначні відображення найзагальнішого виду, які ми досі допускали, порушували всі ці стосунки – згадайте хоча б лише про відображення квадрата на відрізок! Я хотів би особливо підкреслити значення саме цього другого розділу вчення про безлічі; адже не може ж це вчення мати на меті усунути за допомогою введення нових, більше загальних понятьті відмінності, які з давніх-давен увійшли в ужиток математики; швидше, навпаки, це вчення може і повинно служити тому, щоб за допомогою загальних понять пізнати ці відмінності в їхній найглибшій сутності.

Порядкові типи лічильних множин.

Тепер наша мета полягає в тому, щоб проілюструвати на певних, загальновідомих прикладах поняття різних можливих розташування елементів множини в певному порядку. Якщо починати з лічильних множин, то ми вже знаємо три зовсім різні приклади розташування елементів у таких множинах, настільки різні між собою, що рівність їх потужностей становила, як ми бачили, особливу і в жодному разі не очевидну теорему; це такі множини:

1) безліч натуральних чисел;

2) безліч всіх (негативних та позитивних) цілих чисел;

3) безліч всіх раціональних чисел та безліч усіх алгебраїчних чисел.

Розташування елементів у всіх цих трьох множинах має одну загальну властивість, через яку вона називається лінійним порядком у множині. Ця властивість полягає в наступному: з кожних двох елементів якийсь один завжди передує іншому, тобто, висловлюючись алгебраїчно, завжди відомо, який елемент менше і який більше, і, далі, якщо з трьох елементів а, b, з елемент а передує елементу b, а елемент b - елементу с, то завжди передує елементу с (якщо , то

Але, з іншого боку, у розглянутих прикладах мають місце такі характерні відмінності: у першій множині існує перший елемент (нуль), який передує решті, але немає останнього елемента, який слідував би за іншими; у другій множині немає ні першого, ні останнього елемента. Але в обох цих множинах є те загальне, що за будь-яким елементом безпосередньо слідує певний найближчий елемент, і кожному елементу безпосередньо передує певний інший елемент.

На противагу цьому у третьої множини між кожними двома елементами завжди є, як ми вже бачили вище, нескінченно багато інших елементів; таку властивість множини ми позначали терміном «усюди щільна множина», так що, зокрема, серед усіх раціональних чи алгебраїчних чисел, що лежать між а і b, якщо не рахувати самих цих чисел, немає ні найменшого, ні найбільшого числа. Таким чином, способи розташування елементів у цих трьох множинах, тобто їх порядкові типи, різні між собою, хоча самі множини мають однакові потужності. З цим можна пов'язати - і це дійсно роблять представники теорії множин - питання про всі взагалі можливі порядкові типи лічильних множин.

Безперервність континууму. Перейдемо тепер до розгляду безлічі потужності континууму; тут нам відомо одне безліч з наявним у ньому лінійним порядком, саме, континуум всіх дійсних чисел. Але поряд з ним у двовимірному та багатовимірному випадку ми маємо приклади множин з розташуванням елементів, відмінним від того, який ми назвали «лінійним». Так, у випадку безлічі для того, щоб визначити взаємне розташуваннядвох точок, необхідні вже не одне, а два співвідношення типу нерівностей.

Тут найважливіше проаналізувати поняття безперервності одновимірного континууму; відкриття того, що це поняття дійсно засноване тільки на простих властивостяхпорядку, властивого множині є першою чудовою заслугою вчення про множини у справі з'ясування основних математичних понять, а саме, виявляється, що всі властивості безперервності континууму походять з того, що останній є лінійно впорядкованою множиною з наступними двома властивостями:

1. Якщо розділити множину на якісь дві частини А, В, але таким чином, щоб кожен елемент належав будь-якій одній з цих частин і щоб всі елементи, що входять до частини А, передували всім елементам частини В, то в такому у випадку або має останній елемент, або має перший елемент.

Згадуючи дедекіндове визначення ірраціональних чисел ми можемо висловити цю властивість ще так: всяке «перетин» у нашій множині виробляється одним з його елементів.

2. Між будь-якими двома елементами множини є безліч інших елементів.

Цю другу властивість мають не тільки континуум а й лічильна множина всіх раціональних чисел; перше ж властивість свідчить про істотне різницю між цими впорядкованими множинами. Будь-яке лінійно впорядковане безліч, що володіє обома цими властивостями, у вченні про безлічі називають безперервним з тієї причини, що для нього дійсно можна довести всі теореми, які мають місце для континууму через його безперервність.

Я хочу вказати ще на те, що ці властивості безперервності можна формулювати дещо інакше, а саме, виходячи з так званих «основних» рядів Кантора. Основним рядом називають таку лічильну послідовність елементів даної множини, що в самій множині або деякий елемент множини називають граничним елементом основного ряду, якщо - в першому випадку - в основному ряду завжди знайдуться елементи, великі всякого елемента, що лежить в даному множині до а, але зовсім немає елементів, блискучих хоча б одного елемента, розташованого після аналогічно визначають граничний елемент у другому випадку. Якщо безліч володіє тим властивістю, що кожному входить до його складу основному ряду відповідає в ньому граничний елемент, то множину називають замкнутим; якщо ж, навпаки, кожен елемент множини є граничним елементом деякого основного ряду, виділеного з нього, то множину називають щільним. Безперервність множин, що мають потужність континууму, полягає, суттєвим» разом, у поєднанні обох цих властивостей.

Принагідно я хочу тут нагадати, що при розмові про диференційне та інтегральне обчислення ми говорили, ще й про інший континуум - про континуум

Веронезе, що виникає зі звичайного континууму у вигляді приєднання актуально нескінченно малих величин. Хоча таким шляхом виходить теж лінійно впорядковане безліч, але тим не менш цей континуум має, звичайно, зовсім інший тип розташування, ніж звичайний континуум теорема про те, що всякий основний ряд має граничний елемент, тут вже місця не має.

З величезного різноманіття всіляких множинособливий інтерес представляють так звані числові множини, тобто, множини, елементами яких є числа. Зрозуміло, що для зручної роботи з ними необхідно вміти їх записувати. З позначень та принципів запису числових множин ми і почнемо цю статтю. А далі розглянемо, як числові множини зображуються на координатній прямій.

Навігація на сторінці.

Запис числових множин

Почнемо із прийнятих позначень. Як відомо, для позначення множин використовуються заголовні буквилатинського алфавіту. Числові множини, як окремий випадок множин, позначаються також. Наприклад, можна говорити про числові множини A, H, W і т.п. Особливу важливість мають безліч натуральних, цілих, раціональних, дійсних, комплексних чисел і т.п., для них були прийняті свої позначення:

N – множина всіх натуральних чисел;
Z – безліч цілих чисел;
Q – безліч раціональних чисел;
J – безліч ірраціональних чисел;
R – безліч дійсних чисел;
C – безліч комплексних чисел.

Звідси зрозуміло, що варто позначати безліч, що складається, наприклад, з двох чисел 5 і −7 як Q , це позначення вводитиме в оману, оскільки буквою Q зазвичай позначають безліч всіх раціональних чисел. Для позначення зазначеної числової множини краще використовувати якусь іншу «нейтральну» букву, наприклад, A .

Якщо вже ми заговорили про позначення, то тут нагадаємо і про позначення порожньої множини, тобто множини, що не містить елементів. Його позначають знаком ∅.

Також нагадаємо про позначення приналежності та неналежності елемента безлічі. Для цього використовують знаки ∈ – належить та ∉ – не належить. Наприклад, запис 5∈N означає, що число 5 належить множині натуральних чисел, а 5,7∉Z – десятковий дріб 5,7 не належить множині цілих чисел.

І ще нагадаємо про позначення, прийняті для включення однієї множини до іншої. Зрозуміло, що всі елементи множини N входять до множини Z , таким чином числова множина N включено в Z , це позначається як NZ . Також можна використовувати запис Z⊃N , який означає, що безліч всіх цілих чисел включає безліч N . Відносини не включено та не включає позначаються відповідно знаками ⊄ та . Також використовуються знаки нестрогого включення виду ⊆ та ⊇, що означають відповідно включено або збігається та включає або збігається.

Для позначення поговорили, переходимо до опису числових множин. При цьому торкнемося лише основних випадків, які найчастіше використовуються на практиці.

Почнемо з числових множин, що містять кінцеву та невелику кількість елементів. Числові множини, що складаються з кінцевого числа елементів, зручно описувати, перераховуючи всі їх елементи. Всі елементи-числа записуються через кому і полягають у , що узгоджується із загальними правилами опису множин. Наприклад, безліч, що складається з трьох чисел 0 −0,25 і 4/7 можна описати як (0, −0,25, 4/7) .

Іноді, коли число елементів числової множини досить велике, але елементи підпорядковуються деякою закономірності, для опису використовують крапку. Наприклад, безліч всіх непарних чисел від 3 до 99 включно можна записати як (3, 5, 7, …, 99).

Так ми плавно підійшли до опису числових множин, кількість елементів яких нескінченна. Іноді їх можна описати, використовуючи все теж багатокрапка. Наприклад опишемо безліч всіх натуральних чисел: N=(1, 2. 3, …) .

Також користуються описом числових множин за допомогою вказівки властивостей його елементів. У цьому застосовують позначення (x| властивості) . Наприклад, запис (n| 8·n+3, n∈N) задає безліч таких натуральних чисел, які при розподілі на 8 дають залишок 3 . Це безліч можна описати як (11,19, 27, …) .

У окремих випадках числові множини з нескінченним числом елементів є відомі множини N , Z , R , тощо. чи числові проміжки. А в основному числові множини видаються як об'єднанняскладових окремих числових проміжків і числових множин з кінцевим числом елементів (про які ми говорили трохи вище).

Покажемо приклад. Нехай числове безліч становлять числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , усі числа відрізка [−5, −1,3] та числа відкритого числового променя (7, +∞) . В силу визначення об'єднання множин вказану числову множину можна записати як {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такий запис фактично означає множину, що містить у собі всі елементи множин (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] та (7, +∞) .

Аналогічно, поєднуючи різні числові проміжки та безлічі окремих чисел, можна описати будь-яку числову множину (що складається з дійсних чисел). Тут стає зрозуміло, чому були введені такі види числових проміжків як інтервал, напівінтервал, відрізок, відкритий числовий промінь і числовий промінь: всі вони в поєднанні з позначеннями множин окремих чисел дозволяють описувати будь-які числові множини через їх об'єднання.

Зверніть увагу, що при записі числової множини складові його числа та числові проміжки впорядковуються за зростанням. Це не обов'язкова, але бажана умова, оскільки впорядкована числова множина простіше уявити та зобразити на координатній прямій. Також зазначимо, що у подібних записах не використовуються числові проміжки з загальними елементамиТакі записи можна замінити об'єднанням числових проміжків без загальних елементів. Наприклад, об'єднання числових множин із загальними елементами [−10, 0] та (−5, 3) є напівінтервал [−10, 3) . Це ж стосується і об'єднання числових проміжків з однаковими граничними числами, наприклад, об'єднання (3, 5]∪(5, 7] є безліч (3, 7] , на цьому ми окремо зупинимося, коли будемо вчитися знаходити перетин і об'єднання числових множин.

Зображення числових множин на координатній прямій

Насправді зручно користуватися геометричними образами числових множин – їх зображеннями на . Наприклад, при розв'язанні нерівностей, в яких необхідно враховувати ОДЗ, доводиться зображати числові множини, щоб знайти їх перетин та/або об'єднання. Тож корисно буде добре розібратися з усіма нюансами зображення числових множин на координатній прямій.

Відомо, що між точками координатної прямої та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність, що означає, що сама координатна пряма являє собою геометричну модель множини всіх дійсних чисел R . Таким чином, щоб зобразити безліч усіх дійсних чисел, треба накреслити координатну пряму зі штрихуванням на її протязі:

А часто навіть не вказують початок відліку та одиничний відрізок:

Тепер поговоримо про зображення числових множин, що є деякою кінцевою кількістю окремих чисел. Наприклад, зобразимо числову множину (−2, −0,5, 1,2) . Геометричним чином даної множини, що складається з трьох чисел −2 , −0,5 та 1,2 будуть три точки координатної прямої з відповідними координатами:

Зазначимо, що зазвичай потреб практики немає необхідності виконувати креслення точно. Часто досить схематичного креслення, що має на увазі необов'язкове витримування масштабу, при цьому важливо лише зберігати взаємне розташування точок відносно один одного: будь-яка точка з меншою координатою повинна бути лівішою від точки з більшою координатою. Попереднє креслення схематично виглядатиме так:

Окремо з різних числових множин виділяють числові проміжки (інтервали, напівінтервали, промені і т.д.), що представляють їх геометричні образи, ми докладно розібралися в розділі . Тут не повторюватимемося.

І залишається зупинитися лише на зображенні числових множин, що є об'єднанням кількох числових проміжків і множин, що складаються з окремих чисел. Тут немає нічого хитрого: за змістом об'єднання в цих випадках на координатній прямій потрібно зобразити всі складові множини цієї числової множини. Як приклад покажемо зображення числової множини (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

І зупинимося ще досить поширених випадках, коли зображуване числове безліч є всі безліч дійсних чисел, крім однієї чи кількох точок. Такі множини частенько задаються умовами типу x≠5 чи x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 тощо. У цих випадках геометрично вони є всю координатну пряму, за винятком відповідних точок. Іншими словами, з координатної прямої потрібно «виколоти» ці точки. Їх зображують кружальцями із порожнім центром. Для наочності зобразимо числову множину, що відповідає умовам (Це безліч по суті є):

Підведемо підсумок. В ідеалі інформація попередніх пунктів повинна сформувати такий самий погляд на запис та зображення числових множин, як і погляд на окремі числові проміжки: запис числової множини відразу має давати його образ на координатній прямій, а за зображенням на координатній прямій ми повинні бути легко описати відповідне числове безліч через об'єднання окремих проміжків та множин, що складаються з окремих чисел.

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.

1.1. Основні поняття та визначення теорії множин

Будь-яке поняття дискретної математики можна визначити за допомогою поняття множини, яке є одним із фундаментальних понять і було сформульоване вперше німецьким математиком Г. Кантором.

Під безліччюрозуміється будь-яка сукупність певних і помітних між собою об'єктів, мислима як єдине ціле.

Можна говорити про безліч стільців у кімнаті, людей, що живуть у м. Воронежі, студентів у групі, про безліч натуральних чисел, літер в алфавіті, станів системи тощо. При цьому про безліч можна говорити тільки тоді, коли елементи множини помітні між собою. Наприклад, не можна говорити про безліч крапель у склянці води, оскільки неможливо чітко та ясно вказати кожну окрему краплю.

Окремі об'єкти, з яких складається безліч, називають елементами множини. Так, число 3 – елемент множини натуральних чисел, а буква б – елемент множини літер російського алфавіту.

Загальним позначенням множини служить пара фігурних дужок ( ), усередині яких перераховуються елементи множини. Для позначення конкретних множин використовують різні великі літери A, S, X... або великі літери з індексами А 1 , А 2 . Для позначення елементів множини в загальному виглядівикористовують різні малі літери а, s, x... або малі літери з індексами а 1 , а 2 ...

Для вказівки того, що певний елемент а S, використовується символ Î приналежності безлічі. Запис aÎ Sозначає, що елемент aналежить безлічі S, а запис xÏ Sозначає, що елемент хне належить множині S. Записом х 1 , x 2 ,... ...,x nÎ Sкористуються як скорочення для запису x 1 Î S, x 2 Î S,..., x nÎ S.

Як правило, вважається, що всі елементи множини різні. Безліч із повторюваними елементами називається мультимножиною. Мультимножества відіграють у комбінаториці. Надалі розглядатимуться множини з різними елементами.

Будемо використовувати такі позначення для числових множин:

– безліч натуральних чисел, тобто.

– безліч цілих чисел, тобто. = (0, ±1, ±2, …);

– безліч раціональних чисел, =(/\, Î; ¹ 0);

- Багато речових чисел;

- Багато комплексних чисел.

Багато бувають кінцевими і нескінченними. Багато називають кінцевим, якщо число його елементів звичайно, тобто якщо існує натуральне число nє числом елементів множини. Безліч називають нескінченним, якщо вона містить безліч елементів. Кількість елементів кінцевої множини називається потужністюі позначається = nякщо безліч Xмістить nелементів.

Важливим поняттям теорії множин є поняття порожньої множини. Порожнім безліччюназивають безліч, яка містить жодного елемента. Порожня множина позначають символом Наприклад:

{xÎ R | x 2 -x+1=0}=

Поняття порожньої множини грає дуже важливу роль при завданні множин за допомогою опису. Так, без поняття порожньої множини ми не могли б говорити про безліч відмінників групи або про безліч речових коренів квадратного рівняння, не переконавшись попередньо, чи є взагалі в цій групі відмінники або має дане рівняння речові корені. Введення порожньої множини дозволяє абсолютно спокійно оперувати з безліччю відмінників групи, не дбаючи про те, є чи ні в аналізованій групі відмінники. Порожня множина будемо умовно відносити до кінцевих множин.

Безліч, що містять усі елементи, що знаходяться у розгляді, називається універсальнимабо універсумомі позначається U.

Для того, щоб оперувати з конкретними множинами, потрібно вміти їх задавати. Існують два способи завдання множин: перелік та опис. Завдання множини способом перерахування відповідає перерахунку всіх елементів, що становлять безліч. Так, безліч відмінників групи можна задати, перерахувавши студентів, які навчаються відмінно, наприклад (Іванов, Петров, Сидоров). Для скорочення запису Х={х 1 , х 2 , ...,х n) іноді вводять безліч індексів I={1, 2,..., n) і пишуть X={x i}, iÎ I. Такий спосіб зручний при розгляді кінцевих множин, що містять невелику кількість елементів, але іноді може застосовуватися і для завдання нескінченних множин, наприклад (2, 4, 6, 8 ...). Природно, що такий запис застосовний, якщо цілком ясно, що розуміється під трьома крапками.

Описовий спосіб завдання множини полягає в тому, що вказується характерна властивість, якою володіють всі елементи множини. При цьому використовується запис

X={x | xмає властивість Q(x)}.

Вираз у дужках читається: безліч всіх елементів х, які мають властивість Q(x). Так, якщо М- безліч студентів групи, то безліч Aвідмінників цієї групи запишеться у вигляді А={хÎ М | х- відмінник групи),

що читається наступним чином: безліч Аскладається з елементів хбезлічі М, Що володіють тією властивістю, що хє відмінником групи.

У тих випадках, коли не викликає сумнівів, з якої множини беруться елементи х, вказівка про належність хбезлічі Мможна не робити. При цьому безліч Азапишеться у вигляді

А = ( х | х- відмінник групи).

Наведемо кілька прикладів завдання множин методом опису: ( x | x– парне) – безліч парних чисел;

{х | х 2 -1 = 0) - безліч (+1, -1).

Нехай Z - Безліч цілих чисел. Тоді ( xÎ Z | 0<x£7) є безліч (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Безліч непарних чисел можна визначити як ( x| x=2k+1 для деякого kÎ Z}.

Спосіб завдання безлічі за допомогою властивостей таїть деякі небезпеки, оскільки «неправильно» задані властивості можуть призвести до суперечності. Наведемо один із найбільш типових парадоксів – парадокс Рассела. Розглянемо безліч всіх множин, які є своїми власними елементами: . Запитаємо тепер, чи є безліч Досвоїм елементом? Якщо ДоÎ До, то має виконуватися властивість, що задає безліч До, тобто. ДоÏ Дощо призводить до протиріччя. Якщо ДоÏ До, то, оскільки виконується властивість, що задає До, приходимо до того, що ДоÎ Доа це суперечить припущенню. Таким чином, не всяка властивість призводить до осмисленого завдання множини.

Крім того, безліч можна задати за допомогою характеристичної функції, значення якої вказують чи є (так чи ні) хелементом множини Х :

Зауважимо, що з будь-яких елементів = 0; = 1.

приклад. Нехай на універсумі U={a, b, c, d, e) визначено безліч X={a,c,d), тоді

Для довільних множин Xі Yможна визначити два типи відносин – відношення рівності та відношення включення.

Дві множини вважаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. Прийнято позначення X=Y, якщо Xі Yрівні, і X Y– інакше.

Легко бачити, що для будь-яких множин X, Y, Zсправедливі співвідношення

З визначення рівності множин випливає, що порядок елементів у множині несуттєвий. Так, наприклад, множини (3, 4, 5, 6) і (4, 5, 6, 3) являють собою одну й ту саму множину.

Якщо кожен елемент множини Xє елементом множини Y, то кажуть, що Xвключено до Yі позначають:

У цьому випадку кажуть, що безліч Xє підмножиноюбезлічі Y. Зокрема Xі Yможуть збігатися, тому називається також ставленням несуворого включення.Зазначимо деякі властивості підмножини, що з його визначення:

Якщо і , то кажуть, що Xє власне підмножина Yі позначають , відношення між множинами в цьому випадку називається ставленням несуворого включення.Для відношення суворого включення справедливо

Невключення підмножини Xу безліч Yпозначається X. Така множина називається сімейством множиниабо булеаномбезлічі Xі позначається P(X) Оскільки включено до будь-якої множини, то .

приклад. Нехай. Тоді

I. Безліч є сукупністю деяких предметів або чисел, складених за будь-якими загальними властивостями або законами (множина літер на сторінці, безліч правильних дробів зі знаменником 5 , безліч зірок на небі і т.д.).

Для запису множини використовують фігурні дужки: «{ »- безліч відкривається; "}" — безліч закривається. А саме безліч називають великими латинськими літерами: А, В, Сі так далі.

приклади.

1 . Записати безліч А, що складається з усіх голосних літер у слові «математика».

Рішення. А = (а, е, і). Ви бачите: незважаючи на те, що в слові «математика»є три літери «а»- У записі безлічі повторень не допускається, і буква «а»записується лише один раз. Безліч Аскладається із трьох елементів.

2. Записати багато всіх правильних дробів зі знаменником 5 .

Рішення.Згадуємо: правильним називають звичайний дріб, у якого чисельник менший за знаменник. Позначимо через Ушукана безліч. Тоді:

Безліч Ускладається із чотирьох елементів.

ІІ. Багато складаються з елементів і бувають кінцевими або нескінченними. Безліч, яке не містить жодного елемента, називають порожньою множиною і позначають Ø.

ІІІ. Безліч Уназивають підмножиною множини А, якщо всі елементи множини Ує елементами множини А.

3. Яка з двох даних множин Уі З До,

якщо У={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Рішення. Всі елементи множини Зє також елементами множини Дотому безліч Зє підмножиною безлічі До.Записують:

IV. Перетином множин Аі Уназивається безліч, елементи якого належать і безлічі Аі безлічі У.

4. Показати перетин двох множин Мі Fза допомогою кіл Ейлера.

Рішення.