Тема матриці та дії над ними. Матриці, події над матрицями. Зворотна матриця. Ранг матриці. Операція множення матриць

Визначення.Матрицею називається безліч чисел, яке складає прямокутну таблицю, що складається з рядків і стовпців

коротко матрицю позначають так:

де елементи даної матриці, i номер рядка, j номер стовпця.

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців ( m = n), то матриця називається квадратний n-го порядку, а інакше – прямокутної.

Якщо m= 1 і n > 1, то отримуємо однорядкову матрицю

яка називається вектор-рядок , якщо ж m>1 та n=1, то отримуємо одностовпцеву матрицю

яка називається вектор-стовпчик .

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональної.

Діагональна матриця, у якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одинично, позначається E.

Матриця, отримана з даної заміною її рядка стовпцем з тим самим номером, називається транспонованої до цієї. Позначається.

Дві матриці і рівні, якщо рівні між собою елементи, що стоять на однакових місцях, тобто якщо

при всіх i і j(При цьому число рядків (стовпців) матриць Aі Bмає бути однаковим).

1°. Сумою двох матриць A=(a ij) та B=(b ij) з однаковою кількістю m рядків та nстовпців називається матриця C=(c ij), елементи якої визначаються рівністю

Суму матриць позначають C=A+B.

приклад.

2 0 . Добутком матриці A=(a ij) на число λ називається матриця, у якої кожен елемент дорівнює добутку відповідного елемента матриці Aна число λ :

λA=λ (a ij)=(λa ij), (i=1,2…,m; j=1,2…,n).

приклад.

3 0 . Добутком матриці A=(a ij), що має mрядків та kстовпців, на матрицю B=(b ij), що має k рядків та nстовпців, називається матриця C=(c ij), що має mрядків та nстовпців, у якої елемент c ijдорівнює сумі творів елементів i-ого рядка матриці A і j-го стовпця матриці B, тобто

При цьому кількість стовпців матриці Aмає дорівнювати числу рядків матриці B. Інакше твір не визначено. Добуток матриць позначається A*B=C.

приклад.

Для твору матриць не виконується рівність між матрицями A* B і B* A, У випадку одна з них може бути не визначена.

Розмноження квадратної матриці будь-якого порядку на відповідну одиничну матрицю не змінює матрицю.

приклад.Нехай тоді згідно правила множення матриць маємо

,

звідки укладаємо, що

Визначники та його властивості.

Нехай дана квадратна матриця третього порядку:

Визначення. Визначником третього порядку, який відповідає матриці (1), називається число, що позначається символом

та визначається рівністю

Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності (2) беруться зі знаком "+", а які зі знаком "-", корисно використати таке правило трикутників.

приклад.

Сформулюємо основні властивості визначників третього порядку, хоча вони притаманні визначникам будь-якого порядку.

1. Розмір визначника не зміниться, якщо його рядки і стовпці поміняти місцями, тобто.

2. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника дорівнює множенню його на -1.

3. Якщо визначник має два однакові стовпці або два однакові рядки, то він дорівнює нулю.

4. Розмноження всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число λ рівносильно множенню визначника на це число λ .

5. Якщо всі елементи деякого стовпця або деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо елементи двох стовпців чи двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент n-го стовпця ( n-ой рядка) визначника являє собою суму двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один n-ом стовпці ( n-му рядку) містить перші зі згаданих доданків, а інший - другі; елементи, які стоять інших місцях, в усіх трьох визначників одні й самі.

Наприклад,

8 0 . Якщо до елементів деякого стовпця (рядки) визначника додати відповідні елементи іншого стовпця (рядки), помножені на будь-який загальний множник, то величина визначника не зміниться.

Наприклад,

Міноромдеякого елемента визначника називається визначник, який отримується з даного визначника викресленням рядка і стовпця, на перетині яких розташований цей елемент.

Наприклад, мінором елемента а 1 визначника Δ є визначником 2-го порядку

Алгебраїчним доповненням деякого елемента визначника називається мінор цього елемента, помножений на (-1) p, де р- сума номерів рядка та стовпця, на перетині яких розташований цей елемент.

Якщо, наприклад, елемент а 2 знаходяться на перетині 1-го стовпця та 2-го рядка, то для нього р=1+2=3 та алгебраїчним доповненням є

9 0 . Визначник дорівнює сумі творів елементів якогось стовпця або рядка на їх алгебраїчні доповнення.

10 0 . Сума творів елементів якогось стовпця або якогось рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого стовпця або іншого рядка дорівнюють нулю.

Виникає питання, чи можна для квадратної матриці Апідібрати деяку матрицю, таку, що помноживши на неї матрицю Ав результаті одержати одиничну матрицю Е, таку матрицю називають зворотною до матриці А.

Визначення. Матриця називається зворотної квадратної матриці A, якщо.

Визначення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля. Інакше квадратна матриця називається виродженою.

Будь-яка невироджена матриця має зворотну.

Елементарними перетвореннями матрицьє:

перестановка місцями двох паралельних рядів матриці;

множення всіх елементів матриці на число, відмінне від нуля;

додавання до всіх елементів ряду матриці відповідних елементів паралельного ряду, помножених на те саме число.

Матриця Уотримана з матриці Аза допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентної матрицею.

Для невиродженої квадратної матриці

третього порядку зворотна матриця А-1 може бути обчислена за такою формулою

тут Δ - визначник матриці А,A ij – алгебраїчні доповнення елементів a ij матриці А.

Елемент рядка матриці називається крайнім , якщо він відмінний від нуля, а всі елементи рядка, що знаходяться ліворуч від нього, дорівнюють нулю. Матриця називається ступінчастою якщо крайній елемент кожного рядка знаходиться правіше крайнього елемента попереднього рядка. Наприклад:

Чи не ступінчаста; - Східчаста.

У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми .

Складання та віднімання матриць.

Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $AB$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

Приклад №1

Задано три матриці:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$.

Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено.

Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знайдемо матрицю $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Множення матриці на число.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

Приклад №2

Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Добуток двох матриць.

Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначенняа потім докладно розберемо, що воно означає і як з ним працювати.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-йрядки матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

Приклад №3

Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$:

Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають питання, можна глянути попередню тему: "Матриці. Види матриць. Основні терміни" , на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$.

Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$:

Аналогічно попередньому, маємо:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \-56 & -333 \end(array) \right) $$

Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $A cdot B = B cdot A $. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$.

Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$.

Деякі характеристики операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ alfa $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма.

Матриці. Події над матрицями. Властивості операцій над матрицями. Види матриць.

Матриці (і відповідно математичний розділ – матрична алгебра)мають важливе значення в прикладній математиці, тому що дозволяють записати в досить простій формі значну частину математичних моделейоб'єктів та процесів. Термін "матриця" з'явився 1850 року. Вперше згадувалися матриці ще древньому Китаї, пізніше в арабських математиків.

Матрицею A=A mnпорядку m*n називається прямокутна таблиця чисел, що містить m - рядків та n - стовпців.

Елементи матриці a ij ,у яких i=j називаються діагональними і утворюють головну діагональ.

Для квадратної матриці (m=n) головну діагональ утворюють елементи a 11 , a 22 ,..., a nn .

Рівність матриць.

A=Bякщо порядки матриць Aі Bоднакові та a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Події над матрицями.

1. Додавання матриць - поелементна операція

2. Віднімання матриць - поелементна операція

3. Добуток матриці на число - поелементна операція

4. Множення A*Bматриць за правилом рядок на стовпець(число стовпців матриці А має дорівнювати числу рядків матриці B)

A mk * B kn = C mnпричому кожен елемент з ijматриці C mnдорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А відповідні елементи j-го стовпця матриці B , тобто.

Покажемо операцію множення матриць на прикладі

5. Зведення у ступінь

m>1 ціле позитивне число. А – квадратна матриця (m=n) тобто. актуально лише для квадратних матриць

6. Транспонування матриці А. Транспоновану матрицю позначають AT або A"

Рядки та стовпці помінялися місцями

приклад

Властивості операцій над матрицями

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Види матриць

1. Прямокутні: mі n- довільні позитивні цілі числа

2. Квадратні: m=n

3. Матриця рядок: m=1. Наприклад, (1 3 5 7) - у багатьох практичних завданнях така матриця називається вектором

4. Матриця стовпець: n=1. Наприклад

5. Діагональна матриця: m=nі a ij = 0, якщо i≠j. Наприклад

6. Поодинока матриця: m=nі

7. Нульова матриця: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Трикутна матриця: всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють 0.

9. Симетрична матриця: m=nі a ij = a ji(тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять рівні елементи), а отже A"=A

Наприклад,

10. Кососиметрична матриця: m=nі a ij =-a ji(Тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять протилежні елементи). Отже, на головній діагоналі стоять нулі (бо при i=jмаємо a ii =-a ii)

Зрозуміло, A"=-A

11. Ермітова матриця: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- комплексно - поєднане до a ji, тобто. якщо A=3+2i, то комплексно - сполучене Ã=3-2i)

Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведені відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена ​​людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.

Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкої підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.

Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться:

Це просто таблиця (набір) чисел!

Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Розглянута матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми тільки-но розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: - матриця "три на три".

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «ігрок»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві різні точки площини.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса до матриці).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, у цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з погляду виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотній приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична Народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.

2) Дія друга. Розмноження матриці на число.

Приклад:

Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У цьому випадку – на трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб у матрицю НЕ ТРЕБА, по-перше, це лише ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо - Остаточна відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

Зі статті Математика для чайників або з чого початиМи пам'ятаємо, що десяткових дробів з комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:

А от якби ВСІелементи матриці ділилися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.

Приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.

Примітка: теоретично вищої математикишкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто поділ – це окремий випадок множення.

3) Дія третя. Транспонування матриці.

Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.

Приклад:

Транспонувати матрицю

Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:

– транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом чи штрихом праворуч вгорі.

Покроковий приклад:

Транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРОМ.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і жодною іншою!

Приклад:

Скласти матриці і

Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус у матрицю:

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази «від цього відняти це» завжди можна сказати «до цього додати від'ємне число». Тобто віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. Розмноження матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Отже, множити дані матриці можна.

А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливе.

Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення

Завдання лінійної алгебри. Концепція матриці. Види матриць. Операції із матрицями. Розв'язання задач на перетворення матриць.

При вирішенні різних завдань математики часто доводиться мати справу з таблицями чисел, званих матрицями. За допомогою матриць зручно вирішувати системи лінійних рівняньвиконувати багато операцій з векторами, вирішувати різні завдання комп'ютерної графіки та інші інженерні завдання.

Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить кілька mрядків та деяка кількість пстовпців. Числа ті пназиваються порядками матриці. У разі якщо т = п,матриця називається квадратною, а число m = n -її порядком.

Надалі для запису матриць будуть застосовуватися або здвоєні рисочки, або круглі дужки:

Або

Для короткого позначення матриці часто буде використовуватися одна велика латинська літера (наприклад, A), або символ || a ij ||, а іноді з роз'ясненням: А = || a ij || = (a ij),де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n).

Числа a ij ,що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі a ijперший індекс і означає номер рядка, а другий індекс j- Номер стовпця. У разі квадратної матриці

(1.1)

вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриці (1.1) називається діагональ а 11 а 12 … a nnщо йде з лівого верхнього кута цієї матриці в правий нижній її кут. Побічною діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ а n 1 а (n -1)2… a 1 n ,що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут.

Основні операції над матрицями та його властивості.

Перейдемо до визначення основних операцій над матрицями.

Додавання матриць.Сумою двох матриць A = | a ij || ,де і В = | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)одних і тих самих порядків ті пназивається матриця С = || з ij || (і = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п)тих же порядків ті п,елементи з ijякої визначаються за формулою

, де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Для позначення суми двох матриць використовується запис З = А + У.Операція складання суми матриць називається їх складанням. Отже, за визначенням:

+ =

З визначення суми матриць, а точніше з формул (1.2) безпосередньо випливає, що операція складання матриць має ті ж властивості, що і операція складання дійсних чисел, а саме:

1) переміщувальною властивістю: А + В = В + А,

2) сполучною властивістю: ( A + B) + C = A + (B + C).

Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшого числа матриць.

Множення матриці на число. Добутком матриці A = || a ij || , Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) на речовинне число l, називається матриця З = | | з ij || (і = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)елементи якої визначаються за формулою:

, де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Для позначення твору матриці на число використовується запис З = l Aабо З = А l.Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці цього числа.

Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:

1) сполучною властивістю щодо числового множника: (l m) A = l (m A);

2) розподільною властивістю щодо суми матриць: l (A + B) = l A + l B;

3) розподільною властивістю щодо суми чисел: (l + m) A = l A + m A

Зауваження.Різницею двох матриць Аі Уоднакових порядків ті пприродно назвати таку матрицю Зтих же порядків ті п,яка у сумі з матрицею Bдає матрицю A. Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: З = A – Ст.

Дуже легко переконатися в тому, що різниця Здвох матриць Аі Уможе бути отримана за правилом С = A + (-1) В.

Твір матрицьабо перемноження матриць.

Добутком матриці A = | a ij || де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)має порядки, відповідно рівні ті n,на матрицю В = | b ij || ,де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., р),має порядки, відповідно рівні nі р,називається матриця З = | | з ij || (і = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), що має порядки, відповідно рівні ті релементи якої визначаються за формулою:

де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Для позначення твору матриці Ана матрицю Увикористовують запис С = А × В. Операція складання твору матриці Ана матрицю Уназивається перемноженням цих матриць.

Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю А можна помножити не на будь-яку матрицю,необхідно, щоб кількість стовпців матриці Адорівнювало числу рядків матриці Ст.

Формула (1.4) є правилом складання елементів матриці С, що є твором матриці Ана матрицю Ст.Це правило можна сформулювати і словесно: елемент c i j, що стоїть на перерізі і-го рядка і j-го стовпця матриці С = АВ, дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.

Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку.

× =

З формули (1.4) випливають такі властивості твору матриці Ана матрицю В:

1) сполучна властивість: (АВ) С = А (ВС);

2) розподільна щодо суми матриць властивість:

(A + B) С = АС + ВС або A (В + С) = АС + АС.

Питання про перестановкову (переміщувальну) властивість твору матриці Aна матрицю Умає сенс ставити лише для квадратних матриць A і Воднакового порядку.

Наведемо важливі окремі випадки матриць, для яких справедлива і перестановка властивість. Дві матриці для твору яких справедливо перестановочну властивість, прийнято називати комутуючими.

Серед квадратних матриць виділимо клас про діагональних матриць, в кожній з яких елементи, розташовані поза головною діагоналі, рівні нулю. Кожна діагональна матриця порядку пмає вигляд

D = (1.5)

де d 1 , d 2 ,… , d n-які завгодно числа. Легко бачити, що й всі ці числа рівні між собою, тобто. d 1 = d 2 =… = d nто для будь-якої квадратної матриці Апорядку псправедлива рівність А D = D А.

Серед усіх діагональних матриць (1.5) з елементами, що збігаються. d 1 = d 2 =… = d n = = dОсобливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить при d = 1,називається одиничною матрицею n е.Друга матриця виходить при d = 0називається нульовою матрицею n-го порядку та позначається символом O.Таким чином,

E = O =

В силу доведеного вище А Е = Е Аі АО = ПРО А.Більше того, легко показати, що

А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)

Перша формул (1.6) характеризує особливу роль одиничної матриці Е,аналогічну тій ролі, яку відіграє число 1 при перемноженні дійсних чисел. Що ж до особливої ​​ролі нульової матриці О,то її виявляє не тільки друга з формул (1.7), але й рівність, що елементарно перевіряється

А+0=0+А=А.

На закінчення зауважимо, що поняття нульової матриці можна вводити і для неквадратних матриць (нульової називають будь-якуматрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю).

Блокові матриці

Припустимо, що деяка матриця A = | a ij ||за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких є матрицею менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. У такому разі виникає можливість розгляду вихідної матриці. Аяк деякої нової (так званої блочної) матриці А = || A a b ||, елементами якої є зазначені блоки. Зазначені елементи ми позначаємо великою латинською літерою, щоб наголосити, що вони є, взагалі кажучи, матрицями, а не числами і (як звичайні числові елементи) забезпечуємо двома індексами, перший з яких вказує номер «блокового» рядка, а другий – номер «блокового» стовпця.

Наприклад, матрицю

можна розглядати як блокову матрицю

елементами якої є такі блоки:

Чудовим є той факт, що основні операції з блочними матрицями здійснюються за тими самими правилами, за якими вони здійснюються із звичайними числовими матрицями, лише ролі елементів виступають блоки.

Концепція визначника.

Розглянемо довільну квадратну матрицю будь-якого порядку п:

A = (1.7)

З кожною такою матрицею зв'яжемо певну чисельну характеристику, звану визначником, відповідним цієї матриці.

Якщо порядок nматриці (1.7) дорівнює одиниці, то ця матриця складається з одного елемента а i j визначником першого порядку, що відповідає такій матриці, ми назвемо величину цього елемента.

то визначником другого порядку, що відповідає такій матриці, назвемо число, що дорівнює а 11 а 22 - а 12 а 21і позначається одним із символів:

Отже, за визначенням

(1.9)

Формула (1.9) є правилом складання визначника другого порядку за елементами відповідної йому матриці. Словесна формулювання цього правила така: визначник другого порядку, відповідний матриці (1.8), дорівнює різниці добутку елементів, що стоять на головній діагоналі цієї матриці, і добутку елементів, що стоять на її побічній діагоналі. Визначники другого і вищих порядків знаходять широке застосування під час вирішення систем лінійних рівнянь.

Розглянемо, як виконуються операції з матрицями у системі MathCad . Найпростіші операції матричної алгебри реалізовані MathCad як операторів. Написання операторів за змістом максимально наближено до їхньої математичної дії. Кожен оператор виражається відповідним символом. Розглянемо матричні та векторні операції MathCad 2001. Вектори є окремим випадком матриць розмірності n x 1,тому для них справедливі всі ті операції, що і для матриць, якщо обмеження особливо не обумовлені (наприклад, деякі операції застосовуються тільки до квадратних матриць) n x n). Якісь дії допустимі лише для векторів (наприклад, скалярний твір), а якісь, незважаючи на однакове написання, по-різному діють на вектори та матриці.

У діалозі задайте число рядків і стовпців матриці.

q Після натискання кнопки OK відкривається поле для введення елементів матриці. Щоб ввести елемент матриці, встановіть курсор у зазначеній позиції і введіть число або вираз з клавіатури.

Для того, щоб виконати якусь операцію за допомогою панелі інструментів, потрібно:

q виділити матрицю та клацнути в панелі по кнопці операції,

q або клацнути по кнопці на панелі і ввести в позначеній позиції ім'я матриці.

Меню "Символи" містить три операції - транспонування, інвертування, визначник.

Це означає, наприклад, що обчислити визначник матриці можна, виконавши команду Символи/Матриці/Визначник.

Номер першого рядка (і першого стовпця) матриці MathCAD зберігає у змінній ORIGIN. За промовчанням відлік ведеться від нуля. У математичному записі частіше прийнято вести відлік від 1. Щоб MathCAD вів відлік номерів рядків і стовпців від 1, потрібно задати значення змінної ORIGIN:=1.

Функції, призначені для роботи із завданнями лінійної алгебри, зібрані у розділі “Вектори та матриці” діалогу “Вставити функцію” (нагадуємо, що він викликається кнопкою на панелі “Стандартні”). Основні з цих функцій будуть описані пізніше.

Транспонування

Рис.2 Транспонування матриць

У MathCAD можна складати матриці, так і віднімати їх один з одного. Для цих операторів використовуються символи <+> або <-> відповідно. Матриці повинні мати однакову розмірність, інакше буде видано повідомлення про помилку. Кожен елемент суми двох матриць дорівнює сумі відповідних елементів матриць-доданків (приклад на рис.3).
Крім складання матриць, MathCAD підтримує операцію складання матриці зі скалярною величиною, тобто. числом (приклад рис.4). Кожен елемент результуючої матриці дорівнює сумі відповідного елемента вихідної матриці і скалярної величини.
Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу зі зірочкою<*>або скористатися панеллю інструментів Matrix (Матриця),натиснувши на ній кнопку Dot Product (Умноження)(Рис.1). Множення матриць позначається за замовчуванням точкою, як показано в прикладі на рис 6. Символ множення матриць можна вибирати так само, як і в скалярних виразах.
Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицю-рядок і, навпаки, рядки на вектор, наведено на рис. 7. У другому рядку цього прикладу показано, як виглядає формула при виборі відображення оператора множення No Space (Разом).Однак той же оператор множення діє на два вектори по-іншому .

Подібна інформація.